Polskie Otchłanie

Mogę zgadywać, że wszystkie Wielkie Stopy i Saskŭacze nie są wiele większe niż liczba Rayo (Zresztą japoński bot-miłośnik postępu (który podaje się za prawdziwego matematyka), P進大好きbot, twierdzi, że te liczby są w ogóle źle zdefiniowane, chociaż przyznaje, że najprawdopodobniej można je łatwo naprawić.). Możliwe, że ZFC w definicji tej liczby można by zastąpić arytmetyką Peano i wiele by się nie zmieniła (wtedy te liczby są większe niż wyniki zabawy z V=L, szybko rosnącą hierarchią i moimi liczbami porządkowymi (jako takie są zdefiniowane, ale z definicji wynika, że są liczbami kardynalnymi) w stylu antyakermańsko-hiperzygzak-hiperstacjonarnych tudzież I0 i liczbami z Berkley względnie przeogromnymi). Przeciwnie, jeżeli siła teorii ma znaczenie, to powołanie się na większe liczby porządkowe/kardynalne zwiększa rekordowe liczby naturalne. To musi wynikać z definicji (Rayo jest zawodowym matematykiem i nawet miłośnik postępu nie czepia się jego liczby), ale nie umiem jej zinterpretować. Otchłań jest przynajmniej o krok większa (automatycznie przebija liczbę Rayo z udoskonaleniami, ale chyba przede wszystkim dlatego, że kungulus jest większy niż tysiąc (plus minus najwyżej parę rzędów wielkości) znaków w ich definicjach i to definicję Otchłani będę upraszczać, łatać, bronić oraz przebijać (pewnie w zbyt mało twórczy sposób, żeby się liczyło, chociaż z drugiej strony doszedłem daleko).

• 1. polska Otchłań (1st Polish Oblivion, jeżeli ktoś lubi obce nazwy, może ją nazywać po angielsku po prostu 1st Otchłań) to wartość funkcji o≡o₁ dla argumentu gogolpleks: o(10¹⁰¹⁰⁰), czyli największa liczba, która może być zdefiniowana za pomocą najwyżej gogolpleksa znaków (nie widzę powodu, żeby oddzielać definicję liczby od definicji systemu).
  • Żeby liczba była zdefiniowana, trzeba ustalić, jakie symbole nie wymagają definicji. Dla lekkiego podśrubowania proponuję: z logiki PRAWDA, FAŁSZ (0-argumentowe), NIE (1-argumentowe), I, LUB (2-argumentowe), DLA KAŻDEGO, ISTNIEJE (jakby 2-argumentowe, ale jako pierwszy argument przyjmują zawsze pojedynczą zmienną związaną (a jako drugi wyrażenie zawierające tę zmienną)), RÓWNA SIĘ (2-argumentowe), z arytmetyki Peano ZERO (0-argumentowe), NASTĘPNIK (1-argumentowe), DODAĆ, POMNOŻYĆ, WIĘKSZY, MNIEJSZY (2-argumentowe), JEST LICZBĄ NATURALNĄ (1-argumentowe) oraz osobny symbol dla definiowanej liczby (automatycznie zakładamy, że jest liczbą naturalną) i nieskończenie wiele zmiennych, które mogą być zmiennymi związanymi. Do tego nie liczony symbol dla ZASTOSUJ FUNKCJĘ (występuje o jeden mniej razy niż pozostałe symbole).
  • Tego nie da się sformalizować, bo ma obejmować wszystkie (naiwne, czyli zerowego rzędu) systemy formalne – używając zdrowego rozsądku wprowadzamy nowy poziom definicji.
  • Wydaje się, że ta liczba jest mniejsza od oryginalnej Otchłani, bo gogolpleks jest mniejszy od kungulusa.
• 2. polska Otchłań to o(o(10¹⁰¹⁰⁰)) i jest już większa od oryginału.
  • Ogólniej n-ta polska Otchłań to oⁿ(10¹⁰¹⁰⁰).
  • Można mówić o polskiej Otchłani numer 1. polska Otchłań, czyli o^o(1010100)(10¹⁰¹⁰⁰),
  • i polskiej Otchłani numer polska Otchłań numer polska Otchłań numer gogolpleks (o^{oo1010100(1010100)(1010100)}(10¹⁰¹⁰⁰)).

Można by kontynuować zabawę (oczywiście najprawdopodobniej niewiele wartą, jeżeli wziąć pod uwagę ogrom Otchłani), ale od razu zaczniemy drogę do polskiej Bezdennej Otchłani.

• Najpierw 1. polska Otchłań 2. rzędu (1st 2nd-order Polish Oblivion albo 1st 2nd-order Otchłań), czyli o₂(10¹⁰¹⁰⁰).
  • Ma obejmować wszystkie systemy formalne zerowego rzędu, ale może wystarczy, jeśli zdefiniujemy ją jako największą liczbę, która może być zdefiniowana za pomocą wyżej wspomnianych PRAWDA, FAŁSZ, JEST LICZBĄ NATURALNĄ... i funkcji 1-argumentowej o₁.
  • Ogólniej n-ta polska Otchłań m-tego rzędu to o_mⁿ(10¹⁰¹⁰⁰), przy czym o_m pozwala używać co najmniej wszystkich funkcji 1-argumentowych o_k dla naturalnych ściśle dodatnich k<m.
• O₀(k)=o_k(k) daje nam n-tą polską tanią Bezdenną Otchłań (n-th Polish cheap Utter Oblivion albo n-th cheap Bezdenna Otchłań) O₀ⁿ(10¹⁰¹⁰⁰).
  • 1. p.t.B.O. nie umywa się do oryginalnej Bezdennej Otchłani, bo gogolpleks nie umywa się do Otchłani (a w oryginale można użyć nawet z grubsza Otchłań² znaków).
  • 2. p.t.B.O. jest już chyba większa od oryginału, ale przewaga O₀(O₀(10¹⁰¹⁰⁰)) nad jakimś o_{o({X,100,3}& 10)}((o({X,100,3}& 10))²) (nawet mniejszym niż O₀((o({X,100,3}& 10))²)) nie jest całkiem oczywista.
  • 3. p.t.B.O. nie daje (mam nadzieję) oryginałowi szans.
  • Znowu mamy polską tanią Bezdenną Otchłań numer p.t.B.O. numer p.t.B.O. numer gogolpleks (O₀^{O₀O₀1010100(1010100)(1010100)}(10¹⁰¹⁰⁰)), ale to wciąż nie pora na rozkręcanie żałosnej zabawy ze śrubowaniem.
• Prawdziwe O(k) pozwala używać tego, co o_k(k), i dodatkowo o_a(b) jako funkcji dwuargumentowej.
  • Daje nam n-tą polską Bezdenną Otchłań (n-th Polish Utter Oblivion albo n-th Bezdenna Otchłań) Oⁿ(10¹⁰¹⁰⁰).
  • Zatem mamy polską Bezdenną Otchłań numer p.B.O. numer p.B.O. numer gogolpleks (O^{OO1010100(1010100)(1010100)}(10¹⁰¹⁰⁰)).
  • Szybko rosnące hierarchia jest niewiele warta, wyższe rzędy otchłani nie będą szczególnie twórcze, ale jako przykład idei weźmy O_ε0(10¹⁰¹⁰⁰).
• Te wyższe rzędy zaczynamy od o_ω(k)≡O(k) (polskie Bezdenne Otchłanie to Otchłanie rzędu omega (że polskie, nie trzeba w sumie powtarzać, bo innych Otchłani z rzędami jeszcze nie było)).
  • o_<ω(k)≡O₀(k) dla ujednolicenia notacji.
  • o_α(k) to największa liczba, której nie można opisać za pomocą k symboli wspomnianych przy początku, języka teorii zbiorów (żeby mieć te alfy, PROWIZORKA......, DODEFINIOWAĆ......) i funkcji dwuargumentowej o określonej dla liczb porządkowych mniejszych niż α oraz funkcji jednoargumentowych o_β dla β<α definiowalnych za pomocą najwyżej k symboli (dbamy, żeby było skończone).
    • Po rekursywnych porządkowych opisywanych w sekcji „Podobne zabawy dla rekursywnych liczb porządkowych” przychodzi kolej na rząd, którego nie można tak opisać, czyli ω^CK₁ (pierwsza liczba dopuszczalna).
    • Identycznym (więc o wiele mniej twórczym) przełomem jest rząd ω^CK₂.
    • Niewiele bardziej twórcze są punkty stałe ω^CK i
    • liczby rekursywnie nieosiągalne (recursively inaccessible).
    • Liczby rekursywnie Mahlo są nieco oryginalniejsze.
    • Rekursywna α-stacjonarność (jeżeli naprawdę można to zdefiniować) to kolejne kroki tego rodzaju.
    • Liczby Σ₂-dopuszczalne to prawie na pewno krok, przed którym jest coś twórczego, zwłaszcza z punktu widzenia Otchłani (liczby porządkowe to tylko inspiracja).
    • [Ω₁] i [Ω₁@Ω_Ω] z [Ω_Ω] to podobne długie kroki, zapisane w sposób niezależny od modelu,
    • tak samo trzeba potraktować liczby nieosiągalne (zaczynając od [Ω_Ω@Ω_Ω⋅2]), mierzalne, I0 i wszystkie pozostałe aksjomaty dużych kardynalnych.
    • Już za chwilę Ω – większy przełom – i Ω₁ – ostatni naprawdę twórczy krok (w jakimś sensie podobny do ω^CK₁; przedtem zapis wymagał nawiasów kwadratowych właśnie dlatego, iż symbole miały być użyte tutaj w nieco innym znaczeniu).
  • Dla o_<α(k) funkcja dwuargumentowa o nie jest określona dla wszystkich liczb porządkowych mniejszych niż α, są różne funkcje określone dla mniejszej wartości pierwszego argumentu (to jest wyraźnie słabsze i bardziej skomplikowane).
  • o_Ω(k) to największa liczba, której nie można opisać za pomocą k symboli wspomnianych przy początku, języka teorii zbiorów i funkcji dwuargumentowej o określonej dla dowolnych liczb porządkowych oraz funkcji jednoargumentowych o_β dla β definiowalnych za pomocą najwyżej k symboli (tak prowizorycznie......, interpretujemy to tak, że można przebić klasę wszystkich liczb porządkowych Ord definiując duże liczby kardynalne).
  • o_Ω+1(k) to największa liczba, której nie można opisać za pomocą k symboli mając do dyspozycji to, co przy o_Ω(k), i samo o_Ω(k).
  • o_Ω+α+1(k) to największa liczba, której nie można opisać za pomocą k symboli mając do dyspozycji to, co przy o_Ω+α(k), i samo o_Ω+α(k) (......czy jakoś tak, analogicznie do o_α(k) opisanego wyżej).
  • o_Ω⋅2(k) i dalej: o_Ω⋅α(k), o_Ω²(k), o_Ω^Ω(k) i dalej jak zwykle z akermańskością, zygzakowatością itp.
  • o_Ω1(k) pozwala używać k znaków do definiowania akermańskości, zygzakowatości i co tam się jeszcze uda. (Na razie nie zdefiniowałem porządnie nawet akermańskości, a o tym, że zdefiniuję wszystkie formy (hiper)zygzakowatości i pójdę dalej, nie bardzo da się marzyć, ale tutaj już jest nowy pomysł, który wydaje się kluczem do całego nowego nieograniczonego świata liczb, przy których Otchłań jest maleńka (z tym, że jeszcze parę nowych pomysłów będzie).)
  • o_Ω1+1(k) pozwala używać o_Ω1.
  • Nie zapominając o
    • o_Ω1+Ω(k),
    • o_Ω1⋅2(k)
    • i o_Ω1⋅Ω(k),
    liczbach porządkowych (w tym wysokościach modeli ZFC (z liczbami nieosiągalnymi, mierzalnymi itp.)) oraz wszystkich formach akermańskości, zygzakowatości itp. (na razie tylko z Ω, Ω₁ i ich kombinacjami) dochodzimy do o_Ω2(k).
  • Po
    • o_Ω2+1(k),
    • o_Ω2+ω(k),
    • o_Ω2+Ω(k),
    • o_Ω2+Ω1(k),
    • o_Ω2⋅2(k)
    • i np. o_{(zAεω4+5+ω(Ω2))⁴+Ω2⋅Ω+Ω1⋅Ω⋅2+((∇↓↓ω)Z)(Ω)+[ωΩ⋅9]+10564}(k)
      • (gdzie [ω_Ω⋅9] to wysokość pierwszego przechodniego modelu teorii, która nie jest ZFC⁻, bo czasem nie spełnia aksjomatu zastępowania (ω_Ω⋅8+1, ω_ωΩ⋅8+1, ω_ωωΩ⋅8+1... (tym razem chodzi o kardynalne w tym modelu) to ciąg długości ω, który jest klasą właściwą – zmierza do Ord (wyjaśnienie to końcówka zdania po nawiasie)), w którym to modelu Ord (klasa wszystkich liczb porządkowych) to dziewiąty punkt stały omegi (mogłaby być liczba kardynalna w minimalnym modelu ZFC, ale to by nie było konsekwentne – [ω_Ω⋅9] powinno być mniejsze niż ...... W SUMIE CO???))
    dochodzimy do o_Ω3(k).
  • o_Ωω(k) pozwala używać o_Ωn dla liczb naturalnych n, która da się zdefiniować w k znakach (trzeba ustalić, w jakim języku – powiedzmy, że w takim, który zawiera o_Ωk). ......
  • Już o_Ωω+1(k) pozwala używać o_Ωω.
  • o_Ωε0(k) pozwala używać o_Ωα dla porządkowych α<ε₀, która da się zdefiniować w k znakach w języku zawierającym (powiedzmy ...... dokładnie? ......) o_Ωω↑↑k. ......
  • Ogólnie, o_Ωα(k) dla granicznego α pozwala używać o_Ωβ dla porządkowych β<α, która da się zdefiniować w k znakach w języku zawierającym o_Ωα[k]. ......
  • o_ΩΩ(k) pozwala używać o_Ωα dla dowolnych porządkowych α, która da się zdefiniować w k znakach w języku zawierającym o_Ωβ dla β większego niż wszystkie dające się zdefiniować za pomocą najwyżej k znaków bez specjalnych o. ......
  • o_ΩΩ+1(k) i o_ΩΩ+1(k) (uwaga, tym razem można iść dalej niż Ω_Ω) są potężniejsze. ......
  • Można zatem dojść (pamiętając o wszystkich szczegółach, które tym razem prawie bezpośrednio (na mocy intuicyjnych definicji) dodają potęgi) do o_ΩΩ1(k) i o_ΩΩΩ(k) ......
  • a następnie o_Ω↓↓ω(k). ......
  • o_Ω↓↓ω(k)=o_ΩΩ↓↓ω(k), więc powtarzamy pomysł z antypiramidohiperzygzakowatości: o_{Ω↓↓(ω+1)}(k)≡o_{ΩΩ↓↓ω+1}(k). ......
  • o_Ω↓↓Ω(k) pozwala używać wszystkich definiowalnych (w sposób do doprecyzowania ......) o_Ω↓↓α(k). ......
  • Tym sposobem dochodzimy do antyakermańskości o_Ɐ(Ω)(k)≡o_Ω↓^ΩΩ(k), ale to koniec tej drogi – Ɐ(Ω) już nie przyjmuje indeksów dolnych (...... może inna droga doprowadzi nas dalej ......) ......
  • Wydaje się (......TAK?......), że w tym kontekście ...... Ɐ(Ω)=Ω_Ɐ(Ω)=Ω↓↓(Ɐ(Ω)) itd., ale można mówić o Ω_Ɐ(Ω)+1 ...... i dzięki temu chyba da się dojść do zygzakowatości i dalej ......
  • Diagonalizacja po naprawdę wszystkich takich pomysłach prowadzi do o_Ω̃(k)≡o_ΩΩ̃(k)
    • (o_Ω̃(gogolpleks) to pierwsza meta-Otchłań).
  • Następny etap to o_Ω̃+1(k), a wkrótce przychodzi o_ΩΩ̃+1(k).
  • o_ΩΩ̃+ω(k), o_ΩΩ̃+Ω(k), o_{ΩΩ̃+Ω↓↓ω}(k), o_{ΩΩ̃+Ω↓↓Ω}(k), o_ΩΩ̃²(k), o_ΩA(Ω̃)(k) i wszystkie formy piramidalności i zygzakowatości prowadzą najpierw do o_Ω̃1(k) (Ω_Ω̃1≡Ω̃₁, ale inne znaki są ciekawsze), a potem (przez
    • o_Ω̃1(k) ......
    • o_{Ω̃Ω↓↓ω}(k) ...... jaka dokładnie jest różnica??? co jest pomiędzy??? ......
    • o_Ω̃↓↓ω(k) ...... i rozmaite inne formy piramidalności, akermańskości i zygzakowatości ......)
  • do o_{~²
    Ω}(k)≡o_{~
    ~
    Ω}(k). ......
  • Teraz musimy pomyśleć, jak działają różne ilości tyld w indeksach.
    • o_{Ω̃~²
      Ω+Ω̃+Ω}(k) pozwala używać o_{Ω̃~²
      Ω+Ω̃+α}(k') dla dowolnych α, które dają się zdefiniować w o_{Ω̃~²
      Ω+Ω̃}(k) znakach (wygląda, że odcinając ostatnie Ω (czy inny najmniejszy człon addytywny) i zostawiając resztę przy tworzeniu nowego członu addytywnego, możemy trochę podśrubować wynik ......).
      • Przy czym choćby o_{Ω̃~²
        Ω+Ω̃+1}(k')
      • musi być większe od o_{ΩΩ̃~²
        Ω+Ω̃}(k'),
      • które jest większe od o_{Ω̃~²
        Ω+Ω̃+1}(k'),
      • które jest większe od o_{Ω̃~²
        Ω+Ω̃}(k'),
      • które jest większe od o_{Ω̃~²
        Ω+Ω+1}(k'),
      • które jest większe od o_{Ω̃~²
        Ω+Ω}(k'),
      • które jest większe od o_{Ω̃~²
        Ω+1}(k') (tutaj uwzględnimy etapy pośrednie (też coraz mniejsze):
        • o_{Ω̃~²
          Ω+1}(k')≡o_{ΩΩ̃~²
          Ω+1}(k') (to z bezpośrednio nadrzędnego podpunktu równa się temu z dodatkowym Ω),
        • o_{ΩΩ̃~²
          Ω+1}(k')≡o_{Ω~²
          Ω+1}(k') i
        • o_{Ω~²
          Ω+1}(k')≡o_{~²
          Ω+1}(k')),
      • które jest większe od o_{Ω̃~²
        Ω}(k')≡o_{~²
        Ω}(k').
    • To tylko przykłady (i pamiętajmy, że tak naprawdę za każdym razem należy wyczerpać wszystkie formy zygzakowatości itp. (w tym takie idee, które wymagają zbyt wielu znaków, żeby się w praktyce dały zdefiniować)), ale wygląda, że ten etap też jest prosty.
  • Potem szybko przyjdzie (dzięki podobnemu dodawaniu tyld) o_{~^ω
    Ω}(k),
    • a wkrótce również o_Δ̃2(Ω)(k)≡o_{~^Ω
      Ω}(k),
      • czyli funkcja, która pozwala używać o_{~^α
        Ω}(k) (i tego, na co one pozwalają) dla dowolnych α, które dają się zdefiniować w o_Ω(k) znakach (tutaj coś trudno uzasadnić więcej ......;
      • Δ̃₁(Ω)≡Ω;
      • o_Δ̃2(Ω)(gogolpleks)≡o_{~^Ω
        Ω}(gogolpleks) to pierwsza 2-piramidometa-Otchłań albo pierwsza hipermeta-Otchłań).
    • Jak zwykle zakładamy o_{~^Ω
      Ω}(k)≡o_{Ω~^Ω
      Ω}(k) i możemy iść dalej,
      • zaczynając od o_{~^Ω
        Ω+1}(k)≡o_{Ω~^Ω
        Ω+1}(k),
      • przez o_{Ω~^Ω
        Ω+1}(k) itp.
      • do dodania kolejnej tyldy, czyli o_{~^Ω+1
        Ω}(k).
    • Potem przez o_{~^Ω̃
      Ω}(k)
      • do o_Δ̃3(Ω)(k)≡o_{~^{~Ω
        Ω}
        Ω}(k) i
      • przez o_Δ̃4(Ω)(k)≡o_{~^{~~Ω
        Ω
        Ω}
        Ω}(k)
      • w ω krokach do kolejnej formy piramidalności (tyldapiramidalności) i (ω-)piramidometa-Otchłani (o_Δ̃ω(Ω)(gogolpleks); to były duże skoki, ale miejmy nadzieję, że jasne......).
    • o_{~^Δ̃ω(Ω)
      Ω}(k)=o_Δ̃ω(Ω)(k), więc przyjmujemy o_Δ̃ω+1(Ω)(k)≡o_{~^Δ̃ω(Ω)+1
      Ω}(k) i podobnie po wszystkich granicach. ......
    • ......
  • ......

Droga przez wszystkie płytkie Otchłanie i jej przedłużenie

Dalsza podróż zapisywana symbolami

Ale właściwie czym jest Ω? Możliwe, że to pierwsza liczba porządkowa, której naprawdę nie można zdefiniować. ...... Wtedy nad nią można by umieścić modele ZFC (potem z aksjomatami dużych kardynalnych) i dopiero potem drugą niedefiniowalną porządkową Ω₁. ...... Jeżeli naprawdę to są niedefiniowalne porządkowe, to można zacząć od analogów funkcji Veblena, ale potem mamy nieopisywalny stopień nieopisywalności itd. ......

Streszczenie

• polska Otchłań: 0
• polska Bezdenna Otchłań, czyli rozgrzewkowa Otchłań: ω
• poważna Otchłań: Ω
• głębokawa Otchłań: Ω₁
• głębsza Otchłań: Ω_ﬨ (na razie stare)
• (jeden raz) bardziej głębsza Otchłań, czyli Głębsiejsze pierwszego rzędu: Ω_ﬨ²
• skośnie zygzakowata Otchłań: Ω⍖⍖ω≡Ω_{ﬨΩﬨΩﬨ...} (dotąd stare) ??? ......
• nowa skośnie zygzakowata Otchłań, czyli skośnie zygzakowate Głębsiejsze, czyli Krzywe(?): Ω⍖⍖ω (odtąd nowe)
• skośnie antyakermańska Otchłań: Ɐ̸(Ω)

Widok ramek