Witryna Łukasza - Notacja Nawiasowa Bez Marnotrawstwa

Liczby porządkowe zapisujemy jako dopasowane nawiasy, właśnie bez marnotrawstwa. Każda liczba to pierwsza, której nie można opisać za pomocą niższych symboli

Pierwszy poziom:Do małej porządkowej Veblena (SVO, Small Veblen Ordinal) jest łatwo, nawiasami jednego rodzaju:

Zero argumentów to zero: ()≡0 – najmniejsza porządkowa, której nie można zdefiniować bez niczego
Jeden argument to następnik: (α)≡α+1 – najmniejsza porządkowa, której nie można zdefiniować za pomocą liczba do α
- np. (())=1, ((()))=2
Dwa argumenty:
- (()())≡(0,0)≡ω – najmniejsza porządkowa, której nie można zdefiniować za pomocą zera i następnika
  - ((()()))≡(ω)≡ω+1
- (()(()))≡(0,1)≡ω⋅2 – najmniejsza porządkowa, której nie można zdefiniować za pomocą wcześniejszych pomysłów
- (0,α)≡ω⋅(1+α)
- ((())())≡(1,0)≡ω²
- ...... i tak dalej, zbliżamy się do dwuargumentowej funkcji Veblena ......
Dalej:
- (()()())≡(0,0,0)≡φ(1, 0, 0)
- i ogólnie odtąd mamy po prostu funkcję Veblena dla skończenie wielu argumentów, tylko dodajemy jeden do pierwszego argumentu (jeśli jest mniejszy niż ω (sztuczka z 1+α, która już pojawiła sie wyżej); dzięki temu pisanie zer na początku ma sens – nie marnuje się)

Teraz wprowadzamy separatory (nawiasy kwadratowe muszą być w okrągłych, można przyjąć, że są większe niż cokolwiek z nawiasami okrągłymi na wierzchu)

([])=SVO≡SVO₀
([]()) to kolejny punkt stały, SVO₁, ......, ogólnie ([]α)=SVO_1+α
...... jeszcze ogólniej ......w jakimś sensie liczba w nawiasie kwadratowym oznacza pozycję, przeskok dla funkcji Veblena dla nieskończenie wielu argumentów ...... (najwyraźniej [] to już skok o ω, więc [()] to już skok o ω² (następny nie do zastąpienia) – a jakie są komplikacje......???......) ......
...... wygląda, że [SVO]≡[([])] to skok o SVO (bo to długo po osiągnięciu punktu stałego ω^), a potem jest [([([])])], [([([([])])])] itd. ......
([()()]) to prawdopodobnie duża porządkowa Veblena (LVO, Large Veblen Ordinal)
...... ([[]]) to prawdopodobnie następny punkt stały (...... po tym, kiedy nie używamy jako argumentów porządkowych ani funkcji z porządkowych w porządkowe, tylko funkcje z funkcji z porządkowych w porządkowe w porządkowe, np. LVO=φ((1→1)→1), gdzie (1→1) to następne po wszystkich (0→α)≡α ...... zgodnie z plotką ......)
...... jest szansa, że tym sposobem dojdziemy akurat do porządkowej Bachmanna i Howarda (BHO, Bachmann-Howard Ordinal) ......
...... a potem możemy chyba ...... wprowadzić nowy nawias {} i prawdopodobnie ([{}])=BHO, ale ({}) nie ma sensu, bo musi być mniejsze od [] i większe od wszystkich nawiasów okrągłych bez nawiasów klamrowych w środku – a może ma sens, jest większe od wszystkich nawiasów okrągłych bez nawiasów klamrowych luzem w środku i odpowiada ψ(I)>ψ(ψ_I(I)) (......z drobnymi różnicami ALE te różnice mogą jednak pozbawić pomysł sensu CHOCIAŻ czwarty nawias nawet zapakowany może być większy: ([{⟨⟩}])>({})>([{}]) ......) ......

(0,2)=ω⋅3
(0,n)=ω⋅(n+1)
(0,ω)=ω⋅ω
(0,ω⋅ω)=(()(0,ω))=ω³
(0,α)=(1+α)⋅ω
(1,0)=ω^ω
((1,0))=ω^ω+1
(0,(1,0))=ω^ω⋅ω=ω^ω+1
(0,(0,(1,0)))=ω^ω⋅ω²=ω^ω+2
(1,1)=ω^ω⋅2
(0,(0,(1,1)))=ω^ω⋅2⋅ω²=ω^ω⋅2+2
(1,α)=ω^ω⋅(1+α) (?)
(1,(1,α))=ω^{ω⋅(1+ω^ω⋅(1+α))}=?=ω^{ω^ω⋅(1+α)}
(2,α)=ε_α
(3,α)=ζ_α
(4,α)=η_α
(n+1,α)=φ(n,α) dla n>0
(ω,0)=φ(ω,0) (odtąd mamy funkcję Veblena, tylko dodajemy do pierwszej liczby (1+α, czyli jeśli jest skończona – to powoduje, że wiodące zera też cię liczą))
(0,0,0)=φ(1,0,0)

......SVO i dalej......

Nowy nawias (w stanie wolnym może być interpretowany jako nierekursywne porządkowe)

[]=Ω czyli ω^CK₁

([])=SVO=φ(ω→1)

(([]))=SVO+1

([]())=([]0)=φ(ω→1,0→1) (ogólnie [] odpowiada przejściu do następnej omegi, a intuicja wydaje się w oczywisty sposób tłumaczyć, jakich użyć poprawek, żeby uniknąć marnotrawstwa)

(()[])=(0[])=φ(ω→2)

((())[])=(1[])=φ(ω→3)

(()()[])=(0,0[])=φ(ω+1→1)

([][])=φ(ω⋅2→1)

([][]())=φ(ω⋅2→1, 0→1)

Dalej, wciąż w oparciu o intuicję.

[0]=Ω+1

([0])=([()])=φ(ω²→1)

Zapisy jak ([(()()...()())]) zmierzają do φ(SVO→1)

Teraz musimy umieścić nawiasy kwadratowe w nawiasach kwadratowych. W pierwszych krokach pośrednio i są one raczej oczywiste (chociaż nie absolutnie oczywiste).

[([])]=[SVO]=Ω+SVO

([([])])=([SVO])=φ(SVO→1)

Zapisy typu ([([([...])])]) wydają się zmierzać do LVO

[α]=Ω+1+α dla α<LVO

([0,0])=([()()])=LVO

Wątpliwości z wolna narastają:

Pierwszy przykład reguły, która wydaje mi się teraz ważna: [LVO]=[([()()])] jest silniejsze niż [0,0]=[()()] (żeby uniknąć marnotrawstwa), chociaż ma tylko jeden rekursywny argument, nie dwa.

[LVO+α]=Ω+LVO+1+α dla dostatecznie małych α

Rzeczy typu typu ([()()...()()]) mogą zmierzać do BHO=ψ(ε_Ω+1)

([[]])=BHO ?

Znowu: [([[]])] powinno być silniejsze niż [[]], chociaż ma rekursywny argument (nie nierekursywny).

Po [[][]...[][]] przychodzi [[[]]] (zagnieżdżanie zwiększa liczbę – niektórym nie podoba się, jeżeli stawianie czegoś obok siebie jest silniejsze od zagnieżdżania).

......dalej......

Trzeci nawias: {} prawdopodobnie do [[[[...]]]]
{}=Ω⋅2 (Tak przypuszczam.)
Zwracam uwagę, że ([{}])<({})
Dla czwartego nawiasu mam oznaczenie dopiero na drugim poziomie dopiero na drugim poziomie, ale...

Poziom 2a (ślepa uliczka):

«»=0
«0»=() ale teraz to jest 1
«0,n»=(n)=n+2 czyli
- 0=«»
- 1=««»»
- 2=«0,0»=««»«»»
- 3=«0,1»=««»««»»»
- 4=«0,2»=««»««»«»»»
- 5=«0,3»=««»««»««»»»»
- 6=«0,4»=««»««»««»«»»»»
- 7=«0,5»=««»««»««»««»»»»»
Poza tym «0,X» jest równoważne staremu (X), gdzie X to ciąg liczb porządkowych (nawet jednoelementowy).
ω=(0,0)=«0,0,0»=««»«»«»»
(α)=α+1=««»,α» dla ω⩽α<Ω
«1,X»=[X] nawet dla pustego X:
«1»=«««»»»=[]=Ω=ω^CK₁
«2,X»={X}
«2»=«««»«»»»={}=Ω⋅2
«α»=Ω⋅α przynajmniej dla dostatecznie małych α>0, może dla wszystkich α>0
To sugeruje, że granicą jest Ω^ω i mogę mieć nadzieję, że to jest tak potężne jak pierwszy punkt stały omegi w funkcjach kolapsujących porządkowe, ale nawet jeżeli tak jest, to jest prawdopodobnie niepraktyczne.
Pójście dalej wymaga kolejnego rozszerzenia notacji, ale już na temat {} mam niewiele pomysłów.
Przed («ω») mamy («n,«ω»») (zauważ, że przed ({«ω»}) mamy ([{«ω»}]) oraz ([([{«ω»}])]) itd.itd.), a («Ω») ma niewiarygodnie dużo pod sobą i («(«Ω»)») nad sobą. To potwierdza nadzieję, że uda się dojść do punktu stałego omegi, ale notacja jest bardziej mglistym marzeniem niż UNOCF i jest o wiele słabsza niż ψ(K) (gdzie K to (rekursywnie) słabo zwarta).