Liczby nadrzeczywiste itp.

Liczby nadrzeczywiste, nimliczby i hakenbusz

Hakenbusz (ang. hackenbush) to gra, w której dane są grafy wyrastające z jednego korzenia (czasem rysowanego jako ziemia, czyli pozioma linia). Dwaj gracze na zmianę skreślają wybraną krawędź i wszystkie, które tracą przez to kontakt z korzeniem. Linie mogą być czerwone, zielone lub niebieskie. Czerwony gracz może wybrać czerwone lub zielone linie (pośrednio każdy gracz może zmazać linie dowolnej barwy), a niebieski – niebieskie lub zielone. Gracz, który nie może wykonać ruchu, przegrywa.

Liczby nadrzeczywiste (surreal numbers) odpowiadają pozycjom w czerwono-niebieskim hakenbuszu (bez wspólnych, zielonych linii), a nimliczby (nimbers) – pozycjom w zielonym hakenbuszu (wszystkie linie są wspólne; zmazywanie linii jest równoważne zabieraniu żetonów ze stosu, przy czym w grafach można przedstawić bardziej złożone przypadki, ale okazuje się, że wszystkie są równoważne „bambusowi” z określoną liczbą zielonych linii; każdy czerwono-niebieski układ też można zastąpić czerwono-niebieskim „bambusem”). Czerwono-zielono-niebieski hakenbusz to uogólnienie liczb.

Zero to pusty początek – kto zaczyna, ten przegrywa (wszystko o ile obaj gracze grają optymalnie). Jeżeli są tylko czerwone linie, czerwony gracz zawsze wygrywa (to odpowiada liczbie dodatniej). Tak samo z niebieskim (to liczby ujemne). Niezerowe nimliczby odpowiadają grom, w których zaczynający wygrywa (jeśli dobrze gra).

Liczba przeciwna do danej liczby nadrzeczywistej powstaje przez zamianę czerwonego z niebieskim. Dodawanie liczb to stawianie ich obok siebie na ziemi, czyli rysowanie obu wyrastających z korzenia.

Można też zapisać czerwone plusami, a niebieskie minusami. Każdy znak oznacza jeden, ale po zawróceniu coraz mniejsze połówki (z różnymi komplikacjami). Np. „++++−−−−−” (czyli w skrócie „+”.4.„−”.5 albo 4.−5 – kropka łączy łańcuchy jak w PHP i Perlu, można jej też użyć przy potędze; plusy i minusy poza cudzysłowami oznaczają po prostu dodawanie i liczbę przeciwną (może też być odejmowanie)) to 3 i 1/32.

Można też zebrać nieskończoną liczbę plusów i minusów. Długości dodają się jak liczby porządkowe, nie jak nadrzeczywiste. 1.ω=ω, ale ω.1=ω+1. Podobnie ϵ≡1/ω=1.−ω samo ma długość ω. „+−”.ω=0,(10)2=⅔ też ma długość ω.

Ciekawszy przykład

Pokazujemy, że ω/2+ω/2+−ω to zero. Można zapisać („+”.ω.„−”.ω)+(„+”.ω.„−”.ω)+„−”.ω albo (ω.−ω)+(ω.−ω)+−ω, w każdym razie chodzi o dwa bambusy z omegą czerwonych i omegą niebieskich i trzeci z samą omegą niebieskich.

Jeżeli czerwony gracz zaczyna, musi zacząć jeden czerwono-niebieski bambus i zostawić sobie np. 100 kresek (mógłby dużo więcej, ale i tak nic mu to nie da). Wtedy niebieski może zostawić sobie 200 kresek na drugim czerwono-niebieskim bambusie. Teraz mogą odcinać po jednej kresce, ale czerwonemu skończą się wcześniej. Prędzej czy później czerwony musi napocząć drugi czerwono-niebieski bambus. Pozbawi wtedy niebieskiego tych linii, które mu zostały z dwustu, ale nawet jeśli miał 100 i zostawi sobie drugie 100 (czyli będzie miał 200 w dwu czysto czerwonych bambusach), niebieski ma jeszcze jeden własny nieskończony bambus i może zostawić sobie 400 (ściśle biorąc 200 wystarczy – czerwony pierwszy zacznie zużywać swoją dwusetkę i pierwszy przegra dochodząc do zera). Zaczynając czerwony przegra.

Jeśli niebieski gracz zaczyna, lepiej wyjdzie na zostawieniu w całości czysto niebieskiego bambusa, bo słupki na dwukolorowych bambusach może stracić. Powiedzmy, że zostawi sobie 100. Wtedy czerwony zostawi sobie 200 w drugim dwukolorowym bambusie (jednocześnie pozbawiając niebieskiego omegi niebieskich linii). Niebieski wcześniej czy później będzie musiał napocząć czysto niebieski bambus. Wtedy czerwony będzie mógł zostawić sobie więcej linii jednocześnie pozbawiając niebieskiego jednego skończonego zestawu. Potem niebieski przegra, bo obaj gracze będą mieli po prostu skończoną liczbę niezależnych kresek, przy czym on mniej. Zatem niebieski też przegra zaczynając.

ω−1 itp.

Oficjalnie chyba się tego nie stosuje, ale można by założyć uogólnioną hipotezę kontinuum i ją uogólnić do 2ωa=ωa+1 dla każdej liczby nadrzeczywistej a. To oznacza lg(ωa)=ωa−1, ab=2b lg(a) i loga(b)=lg(b)/lg(a) (czyli np. log(ωa)=ωa−1/lg(10)). Inne własności potęgowania i logarytmowania pomagają dla niektórych innych liczb, ...... ale nad innymi trzeba jeszcze pomyśleć ......

(Wyżej używam notacji log(x)≡log10(x) (jak w najmniej wyrafinowanej matematyce), lg(x)≡log2(x) (dwie litery oznaczają podstawę dwa) i ln(x)≡loge(x) (po co się kłócić, skoro jest specjalny symbol).)

A co oznacza ωa? Najpierw stawiamy ω plusów, potem zamiast znaku numer α ωα takich samych znaków (nie ma znaku numer 0 ani z numerem, który jest liczbą graniczną – każdy numer to następnik – to chyba inny punkt widzenia niż w innych miejscach, ale też działa). Np.

** Ale to wyrafinowana równość, taka jak między zerem jako liczba naturalną (zbiorem pustym), zerem jako liczbą całkowitą (zbiorem par równych liczb naturalnych postaci (n, n)), zerem jako liczbą wymierną (zbiorem par liczb całkowitych postaci (0, n)), zerem jako liczbą rzeczywistą (przekrojem Dedekinda, czyli np. ℚ<0, (ℚ<0, ℚ⩾0) albo (ℚ⩽0, ℚ>0), albo zbiorem wszystkich ciągów liczb wymiernych zmierzających do zera) itp.

Luki

W ZFC (patrz dalej) nie może istnieć zbiór wszystkich liczb nadrzeczywistych, najwyżej klasa. I w tej klasie są luki, z których każdą można oddać jako klasę. Można je wyrazić jako ciąg plusów i minusów dla każdej liczby porządkowej. To tak zwane nadrzeczywiste luki (ang. surreal gap).

Najmniejszą nieskończoną lukę zapisuję jako ζ (dzeta, odpowiednik litery zet, ale w greckim alfabecie jest przy początku; nie mylić z ζ0=εζ0). Największa to Ω. Ich odwrotności, odpowiednio 1/ζ i ≡1/Ω, to największa nieskończenie mała luka i najmniejsza liczba większa od zera. Jest też luka większa niż wszystkie przeliczalne porządkowe (podobnie dla innych liczebności) oraz luka większa niż wszystkie porządkowe mniejsze niż dana graniczna porządkowa.

Takie luki po pewnej pozycji mają same plusy albo minusy, ale są też ciekawsze luki, zakończone czymś okresowym lub nieokresowym. Np. „+−”.Ord=(⅔).Ord, powtarzające się rozwinięcie pierwiastka z trzech: (√3).Ord albo luka, która ma plusy dla zera i nieskończonych liczb kardynalnych, a poza tym minusy (trochę większa niż ϵ). Te ciekawsze luki wchłaniają tylko , ale skutecznie (x+=x=x, a normalnie jest np. (1+)+=1+, ale (1+)−=[1−, 1+] (przedział – wynik jest trochę nieoznaczony)). Za to różnica takich luk może być inną luką takiego rodzaju, albo trochę nieoznaczonym [x, x+].

Inne nieskończoności

Zdrowy rozsądek podpowiada, że 0⋅Ω=0, czyli prawdziwa nieskończoność, ∞≡1/0, jest większa niż Ω (Chyba, że jest ujemne – 0 nie ma określonego znaku, więc ∞ też nie, chyba że zdecydujemy się na dodatnią nieskończoność ∞+.). 1/∞=0. ∞⋅0=∞/∞=0/0 może być równe 1, ale może być równe czemukolwiek innemu – to właśnie jest wyrażenie nieoznaczone.

Delta Diraca to funkcja taka, że δ(x≠0)=0, ale ∫ab δ(x) dx=1 dla a, b>0. To sugeruje Ω<δ(0)<∞+, bo ab 0δ(x) dx=0∫ab δ(x) dx=∫ab 0 dx=0, ale >0, więc δ()=0. Do tego μ(supp(δ))=1/δ(0) (miara nośnika (czyli zbioru (właściwie domknięcia zbioru), dla którego funkcja jest niezerowa); przy założeniu, że funkcja jest prostokątna (...... można je czymś zastąpić, nawet rozkładem Gaussa, żeby walczyć kolejnym paradoksem z tym paradoksem, który zaraz wskażemy ......)). ...... Ale czy to nie są po prostu nowe liczby nadrzeczywista albo coś w tym stylu? Właściwie to paradoks, bo, nawet pomijając wartość dla ±μ(supp(δ))/2, dla μ(supp(δ))/4 funkcja musi być niezerowa, a μ(supp(δ))/4>0. ......

Liczby hiperrzeczywiste można dla odmiany formalnie zdefiniować jako ciągi liczb rzeczywistych z ultrafiltrem (czyli sposobem przyjmowania, czy liczy się zbiór (podzbiór liczb naturalnych), czy jego dopełnienie) – większa jest ta hiperrzeczywista, która jest większa na tym zbiorze, który się liczy (jeżeli są równe na zbiorze, który się liczy, to ...... chyba ...... są równe; zbiór skończony nigdy się nie liczy (czyli oczywiście liczy się jego nieskończone dopełnienie), suma skończonej liczby zbiorów, które się nie liczą, się nie liczy, i podzbiór zbioru, który się nie liczy, nie liczy się (więc nadzbiór zbioru, który się liczy, liczy się)), przy czym ciąg stały utożsamiamy z jego wartością (to hiperrzeczywista równa rzeczywistej), a działania wykonuje się na wszystkich elementach. Można przyjąć, że zbiory wielokrotności danej liczby się liczą (więc zgodnie z regułami liczą się też zbiory, które zawierają wszystkie wielokrotności danej liczby powyżej pewnego progu), ale wszystkich reguł nie da się sformułować, chociaż aksjomat wyboru gwarantuje, że ultrafiltry istnieją, czyli jakoś te liczące się zbiory można wybrać (choćby pierwszy ultrafiltr w L).

Między Ω a ∞+ oraz ponad ∞+ są głównie paradoksalne liczby (można by powiedzieć, że ich nie ma, ale jednak coś się da o nich powiedzieć) ......, ale co ze zbiorem wszystkich zbiorów w Nowych Fundamentach albo pozytywnej teorii zbiorów (patrz dalej) ......??????

Dalej

Można też rozpatrywać ciągi hiperrzeczywistych jako hiperhiperrzeczywiste itd. Pewnie da się też rozpatrywać hipernadrzeczywiste, ale czy są ciekawsze od nadrzeczywistych?

Może tak, jako pierwszy krok do liczb nadnadrzeczywistych. To znaczy: coś, co zawiera klasy, to konglomerat (może też zawierać inne konglomeraty (całkiem jak zbiory zawierają zbiory), aż do odpowiednika klas), po klasie Ord mamy (uogólnione) porządkowe, które są konglomeratami, zaczynając od Ord+1≡Ord∪{Ord} i Ord+2≡(Ord+1)∪{Ord+1}≡Ord∪{Ord}∪{Ord∪{Ord}} (potem są np. Ord⋅2, εOrd+1, ωCKOrd+1, ωOrd+1 i punktu stałe α=ωα>Ord, a nawet liczby nieosiągalne i dalej), a pary konglomeratów tych porządkowych i młodszych nadnadrzeczywistych to kolejne nadnadrzeczywiste (pełna analogia ......, możemy iść dalej (Ord≡Ord0 to porządkowa, która jest klasą (czyli 0-klasą; VVOrdVOrd0), VOrd1 jako 1-klasa wszystkich konglomeratów (Ord1 to porządkowa, która jest 1-klasą właściwą), potem Ord2, Ord15, Ord1015, Ordω, Ordω1, Ordεω3+4, OrdOrd≡OrdOrd0, α=Ordα i dalej; weźmy też pod uwagę coraz mniejsze nieskończone uogólnione luki ζαω−Ordα), ale warto wiedzieć, że każdy poziom można zinterpretować jako liczbę nieosiągalną ...... i, poza tym, że czynią one całą zabawę wbrew pozorom mało ambitną, wymuszają istnienie wśród zbiorów liczb światowych i innych tranzytywnych modeli ZFC – zresztą można się oderwać od ZFC, mówiąc o zbiorze wszystkich zbiorów (z uogólnieniami) i odrzucając ufundowanie i ekstensjonalność).

Szalone liczenie

ord to wysokość minimalnego modelu ZFC. ord≡ord0, a ogólniej ordα to wysokość tranzytywnego modelu zawierającego α różnych wysokości tranzytywnych modeli (to nawet nie jest szalone i bez problemu da się sformalizować).

Silniejsze od granicznych donie kardynalnych z Berkley są liczby, które gwarantują podwójne bycie z Berkley i dalej. Nawet jeśli nie wiemy, co jest dalej, możemy mówić o najsilniejszym aksjomacie dużej kardynalnej dłuższym od najkrótszego sformułowania siły kardynalnych z Berkley tylko o jeden znak (a może jest coś silniejszego od k. z B., ale o nie dłuższej definicji) itd.

C0 to duża kardynalna spełniająca aksjomat 0=1. Potem są Cα+1, czyli 0=Cα. (Dla liczb granicznych musi mieć wszystkie niższe własności, a to więcej niż bycie granicą. Potem odpowiednik funkcji Veblena i dalej.)

Uogólnienie to 0=Ord i mniejsze własności podobne (warianty, które nie są podobne, są od nich mniejsze......) do sprytnych, silnych i stabilnych.

Jeszcze silniejszy jest aksjomat ⊥ i aksjomaty typu ⋀β<α⊥. Dla α>liczby liczą się za dosłownie dużą kardynalną.

Ord≡Ord0 to wysokość najlepszego modelu ZFC (chociaż zbiory i tak nie istnieją). Ord1>ordOrd+1.

W najściślejszym znaczeniu hipernieprzeliczalne to odpowiedniki Ord, z perspektywy których Ord jest przeliczalne. ORd≡ORd1 (bo Ord=ORd0) itd. Pod nią są mniejsze liczby hipernieprzeliczalne, jak ω1@ORd i jeszcze mniejsze, a pod nimi największa liczba nieprzeliczalna.

Największa dobrze ufundowana liczba to ORD.
Terminus (nie mój pomysł; ⊙) to liczba tak duża, że dodanie jeden da zero. Mnożenie przez zero tym bardziej da zero. ...... 1/⊙ to za to mała liczba.

Liczby większe od samych siebie i liczby tracące wszelkie własności.

δ(0) to liczba większa od wszystkich uogólnionych nadrzeczywistych (bo mówimy o takiej delcie, która ma nośnik mniejszy od każdej infinitezymalnej uogólnionej nadrzeczywistej), ale mniejsza od nieskonczoności (bo mnożenie przez zero daje gwarantowane zero, zgodnie z własnościami delty Diraca). Mnożenie jej przez siebie jest trudne (zwykła matematyka zakazuje)......
1/_(−1) to mniejsza nieskończoność (analogiczna do większej nieskończoności i odwrotności silniejszych form podkreślenia (dalej)) i formalnie liczy się za liczbę w zasadzie skończoną, bo pomnożona przez 0 daje 0.
Prawdziwa nieskończoność pomnożona przez zero nie musi dawać zera.
Jeżeli (0, a)≡a, to całość (totality; czyjeś) 山≡(1, 0) to liczba większa od największej nieskończoności.
Liczby hiperdodatnie, np. ++1, najmniejsza całkowita liczba hiperdodatnia (większa od wszystkich liczb dodatnich (skończonych, nieskończonych i większych)).
  • Mnożenie od zera nie ma na nie wpływu (bo już na większą nieskończoność nie ma wpływu),
  • mnożenie przez liczby hiperdodatnie przenosi je do wyższej ligi
  • (mnożenie przez zwykłe nieskończoności to mniejszy krok).
  • a≡(++1)a to sporawa liga, ponad (++1)++1 i innymi oczywistymi kombinacjami.
  • Nie zapominajmy o ligach nad wszystkimi ligami......
  • +++1, +ω1, +ω1, +Ord1, +1, +∞, a≡+a∞ itp. itd.

Liczby tracące wszelkie własności, w szczególności nie stające się zerem po pomnożeniu przez zero.

Nieskończeniewielokąt

Nieskończeniewielokąt, nieskończeniewielobok albo apejrogon (jeśli to poprawne polskie nazwy) to wielokąt o nieskończenie wielu kątach i bokach. Może to oznaczać po prostu prostą podzieloną na równe odcinki, albo odpowiednią łamaną (raczej łuk niż coś naprawdę zygzakującego, też dwie lub kilka takich łamanych (uogólnienie gwiazdy Dawida), na płaszczyźnie albo powierzchni hiperbolicznej) albo coś jak pentagram, ale wpisane w koło tak, że punkty są przesunięte o niewymierną część koła (najprostsze wartości przesunięcia to √2 π radianów i 1 radian).

Właściwie trzeba jeszcze wziąć pod uwagę, że jedna strona jest wnętrzem. Dwa nieskończeniewielokąty tworzą dwuścian. W każdym wierzchołku dwuścianu spotykają się dwie ściany (te same). Jeśli ścian w wierzchołku będzie więcej (nawet nieskończenie wiele), otrzymamy regularne pokrycie powierzchni hiperbolicznej.

A teraz użyjmy liczb nadrzeczywistych: Kwadrat (czworokąt foremny) ma cztery boki, które można ponumerować od 1 do 4. Jeśli boki ω-kąta ponumerujemy od 1 do ω, to po pierwsze temu numer ω można też przypisać numer ω, a temu numer ω−1 – numer −1, po drugie na przeciwko tego numer 1 jest numer ω/2+1 (ogólnie n/2+1, np. 3 w czworokącie; zaraz obok jest ω/2 (i ω/2+2, a dalej ω/2−1 i ω/2+3); 1, ω/3+1 i 2ω/3+1 układają się w równy trójkąt (jak 1, 3 i 5 w sześciokącie; itp.)), zaś po trzecie boków będzie tyle, co wszystkich liczb nadrzeczywistych – choćby te z numerami ωa dla ujemnych nadrzeczywistych a (i cała masa innych wariantów – w każdym razie można przyjąć, że wszystkie klasy właściwe są równe). Wygląda, że np. ω1-kąt ma tak naprawdę tyle samo boków, mimo że ma choćby boki 2ω i ε0. ...... Tak? ...... Co z lukami? ......

Można by numerować boki tylko liczbami porządkowymi albo porządkowymi i przeciwnymi do nich, ale wtedy całe koło opisane nie będzie równo podzielone. Niestety tak czy inaczej bok ma tylko skończoną liczbę sąsiadów w skończonej odległości, a sąsiad w skończonej odległości sąsiada w skończonej odległości jest też sąsiadem w skończonej odległości wyjściowego boku. Jeśli nie utniemy (i nie zapętlimy) struktury na skończonej pozycji, to pojawi się zaburzenie, kiedy dojdziemy do nieskończoności i opuścimy tych sąsiadów. Jednak na odwrót, jeśli grupa sąsiadów w skończonej odległości ma inną taką grupę jako zbiorowego bezpośredniego sąsiada, to między nimi jest wyraźna luka, a jeśli między każdymi dwiema grupami jest jeszcze jedna grupa, to problem mniej rzuca się w oczy.

Jeśli ponumerujemy boki liczbami wymiernymi (albo liczbami algebraicznymi, albo ułamkami skończonymi w danym systemie pozycyjnym – zresztą są też bardziej skomplikowane możliwości) od 0 włącznie do 1 (bez 1), będzie ich alef zero, a jeśli ponumerujemy takimi liczbami rzeczywistymi, to kontinuum. Ale boki nie mają bezpośrednich sąsiadów.

Dwa poprzednie akapity razem sugerują, że jeżeli ponumerujemy grupy sąsiadów na okręgu liczbami wymiernymi (ułamki skończone nie dają się dzielić przez wszystkie zwykłe liczby całkowite), a dodatkowo ponumerujemy boki w ramach grupy liczbami całkowitymi, to wyjdzie coś znośnego. (To podobne do przeliczalnego niestandardowego modelu arytmetyki Peano (z poprawką, bo to na okręgu, a nie półprostej), a on właśnie jest dobrą namiastką zwykłych liczb naturalnych (po poprawce raczej całkowitych).) Z tego punktu widzenia liczby arytmetyczne, rzeczywiste czy nadrzeczywiste to zbędna komplikacja. ...... jakiś pożytek chyba z nich jest, ale jaki? ...... W dodatku, ponieważ pomijamy część całkowitą liczby wymiernej i dokładamy osobną liczbę całkowitą, łatwo połączyć boki (albo wierzchołki między nimi) z liczbami wymiernymi, a z odpowiednim przesunięciem otrzymać spiralę (coś podobnego do wielokąta gwiaździstego; ......jak dokładnie......).

Naderzbiory

Łącząc liczby nadrzeczywiste ze zbiorami możemy dojść do naderzbiorów (ang. sursets; chciałoby się powiedzieć „nadzbiory”, ale to oznacza zbiór, którego podzbiorem jest dany).

∅≡{} to zbiór pusty. Powiedzmy, że bycie elementem elementu zapiszemy ∅∊2{{∅}} (przykładowo; bo ∅∊{∅} i {∅}∊{{∅}}). Do kompletu przyjmujemy, iż ∊ to to samo, co ∊1, a ∊0 dla zbiorów jest równoważne równości. Kolejny przykład: Używając liczb von Neumanna (0≡∅, 1≡{0}, 2≡{0, 1}, 3={0, 1, 2}, ..., 5≡{0, 1, 2, 3, 4}, ...) możemy zapisać (mkn)⇔(m+kn).

Teraz możemy pomyśleć o uogólnionym zbiorze, który zawiera zbiór pusty, ale tylko na nieskończonym etapie: ∅∊ω{{...∅...}} (albo ∅∊ω{ω∅}ω). (To od razu sugeruje {∅}∊ω−1{ω∅}ω, ∅∊ω−1{ω−1∅}ω−1, ∅∊ω+1{{ω∅}ω}≡{ω+1∅}ω+1 i oczywiście ∅∊ω{{ω−1∅}ω−1, {∅}, {∅, {{∅}}}}.) Pomyślmy też o „półzbiorze” P takim, że ∅∊½P i P½{∅}, i o T t., że ∅∊T i T{∅}. (Już widać, że zwykła ekstensjonalność nie działa, bo nic nie jest zwykłym elementem P i nic nie jest zwykłym elementem T, a to naderzbiory (zaraz dam sobie spokój i będę nazywać takie coś zbiorami) różne od siebie i od zwykłego zbioru pustego.)

Uogólniając, możemy rozważać AaB dla dowolnej liczby nadrzeczywistej (albo i nadrzeczywistej luki) a. Mogę przyjąć następujące aksjomaty (nawet je można odrzucić (pierwsze dwa najtrudniej), ale wtedy będzie kompletna abstrakcja):
  • (A1B)⇔(AB)
  • (AaB)⇔(BaA) (oczywiste uzupełnienie, o którym jeszcze nie wspominałem)
  • (A0B)⇔(A=B)
  • a, b>0A, B((Aa+bB)⇔⋁C(AaCCbB)) („aksjomat uzasadnienia”)
    • Ten aksjomat uzasadnienia z lukami nabiera nowego znaczenia, bo np. +=, ζ+ζ=ζ i Ω+Ω=Ω.

Co do reszty, możemy rozpatrywać zbiory, które zawierają same siebie (bezpośrednio (zaczynając od atomów Quine'a, które zawierają tylko siebie) lub pośrednio, np. A={B} i B={A}; oczywiście możliwe są bardziej skomplikowane przypadki – aksjomat antyufundowania Boffy daje na to szansę, ale aksjomat Aczela jest zbyt ograniczający (bo jest tylko jeden atom Quine'a, a takich A i B wcale nie ma, chyba że oba byłyby równe temu atomowi)), a wreszcie odrzucić nawet przyciętą do nowej sytuacji ekstensjonalność.

Dla naderzbiorów atomy Quine'a mogą zawierać siebie na każdym poziomie, tylko na poziomach całkowitych albo z innym okresem (okres 2 był wspomniany powyżej, ale są też możliwe okresy ułamkowe, niewymierne i ogólnie nadrzeczywiste, czy nawet lukowe), przy czym
  • muszą to być okresy, bo z aksjomatu uzasadnienia wynika, że dla dowolnych dodatnich a, b (nawet luk)
    • jeżeli AaA i AbA, to Aa+bA (dla a i −b chyba nie musi tak być (dla liczb niewspółmiernych; oczywiście zbiór musi zawierać na poziomie b coś, co zawiera go na poziomie ab, ale to coś nie musi być nim) – chociaż można to nakazać dodatkowym aksjomatem), a
    • jeżeli AaA, to AnaA dla każdej liczby naturalnej n (to działa też z liczbami ujemnymi, z zerem oczywiście też, chyba że odrzucimy odpowiedni aksjomat), ale
  • aksjomat uzasadnienie można wzmocnić (albo nie wzmocnić) uwzględniając nieskończone wielokrotności: „jeżeli AaA, to AxaA dla każdej całkowitej liczby nadrzeczywistej x” (z tej formy aksjomatu, którą zapisałem powyżej, to nie wynika; ułamkowe x zakazuje możliwości, o których pisałem; uwzględnienie luk to dodatkowe wzmocnienie aksjomatu).

Nieufundowane zbiory i rozróżnienia

Bez zupełnego odrzucania ekstensjonalności też mogą być ciekawe zjawiska. Nieufundowane zbiory to takie A, że istnieje takie a0>0, że ⋀0<a((⋁BBaA)⇔(a<a0)) (to wystarczy......?).

Nieufundowane rozróżnienie podobnie pojawia się powyżej pewnego poziomu i istnieje tylko dlatego, że dla każdego poziomu jest poziom między tym poziomem a poziomem, powyżej którego się zaczęło. W szczególności nieufundowanych zbiorów może wcale nie być, może być tylko jeden o danych własnościach, a mogą być różne, z nieufundowanym rozróżnieniem. W dodatku te zjawiska mogą się zacząć powyżej liczby nadrzeczywistej, a mogą powyżej nieskończonej (albo i skończonej) luki, tak że żaden zbiór nie jest w skończonej (czy ogólniej, mniejszej (lub mniejszej lub równej (czyli każdy zbiór jest w większej ......)) niż pewna czysto lukowa (1/ζ może być, ale 1+1/ζ nie (oczywiście, bo 1 niżej jest 1/ζ); (√3).Ord nie różni się tutaj od liczby nadrzeczywistej ......)) odległości od początku. Najprościej zorientować się w tym na przykładzie zbiorów, które na każdym poziomie zawierają najwyżej jeden element.

Nieufundowane rozróżnienie może następować wiele razy. W szczególności może oznaczać rozdwojenie (dokładnie) na każdym poziomie: Dla każdego zbioru istnieją dwie rodziny zbiorów i rodziny rozgałęziają się zaraz po nim, ale w ramach rodziny każde dwa zbiory są oddzielone dopiero na wyższym poziomie.

Zbiory dwuelementowe

Zbiory dwuelementowe mają dodatkowe warianty: mogą się łączyć na określonym etapie, a mogą dawać coś ciekawszego. Zacznijmy od różnych interpretacji {A, B}, czyli zbiorów X spełniających warunki:
  • AX (X zawiera A (zwyczajnie).)
  • BX (X zawiera B (zwyczajnie).)
  • 0<a<1C{(CaX)⇒[((A1−aC)∨(B1−aC))∧¬⋁DA, B(A1−aC)]} (Jeśli X zawiera coś na poziomie między 0 i 1, to to zawiera na odpowiednim poziomie A lub B, a nie zawiera na tym poziomie niczego innego.)
Najprostsze przypadki to
  • zawieranie na każdym pośrednim poziomie a dokładnie jednego zbioru, zawierającego na poziomie 1−a i A, i B,
  • oraz zawieranie na na każdym pośrednim poziomie a dokładnie zbiorów, jednego zawierającego na poziomie 1−a A i jednego zawierającego tak B.
(Odpowiedniki na poziomie 2 dla zwykłych zbiorów to {{A}, {B}} i {{A, B}}.) Rozgałęzienie może też pojawiać się na określonym poziomie (przed liczbą, za liczbą, przed luką, w luce albo za luką). Oba najprostsze warianty (albo wszystkie proste rozgałęzienia) mogą też występować jednocześnie.

Alternatywą jest zawieranie dwu rodzin zbiorów z nieufundowanym rozróżnieniem (obu zawierających i A, i B).

Nieufundowane rozróżnienie (ewentualnie na więcej niż dwa zbiory) może też pojawiać się wiele razy i wracać natychmiast (ewentualnie nie natychmiast) po połączeniu. Nieufundowane rozróżnienia mogą też dawać rozgałęzianie i łączenie według skomplikowanego algorytmu. (Np. linia rozwidla się na I i II, potem I rozwidla się na Ia i Ib, a potem Ib łączy się z II. To, że na początku są dwa zbiory (A i B), właściwie nie jest konieczne.)

Nieufundowane rozróżnienie może też łączyć się i znów rozdzielać (rozdwajać) co . Dodatkowym warunkiem może być, że dodanie liczby nadrzeczywistej (nie luki) do poziomu, na którym jest jeden zbiór, da zawsze poziom z jednym (albo na odwrót, z dwoma) zbiorami.

Za to, jeżeli na każdym poziomie mają być dwa zbiory zawierające na każdym poziomie dwa zbiory zawierające to samo (właśnie dwa zbiory), to trzeba odrzucić ekstensjonalność (na każdym poziomie powyżej samych A i B, chociaż można też rozpatrywać splecioną linię bez początku; A i B mogą też być różnymi zbiorami pustymi; odpowiednik z samymi całkowitymi poziomami to {{A, B}1, {A, B}2} (indeksy dolne mówią, że to różne zbiory, chociaż zawierają to samo)). Z drugiej strony nieufundowane rozróżnienie może podzielić natychmiast linię na nieskończoną (równą chyba mocy zbioru wszystkich zbiorów) liczbę rozgałęzień, które potem łączą się po dwa na każdym poziomie (łączą się pary, ale wynik potem połączy się z wynikiem innego połączenia, to wszystko dla dowolnych liczb nadrzeczywistych – gąszcz).

W nawiązaniu do ostatniej idei z poprzedniego akapitu można pomyśleć o zbiorze wszystkich zbiorów pustych. Tutaj jest np. wariant, który łączy się natychmiast, wariant, który łączy się w ostatniej chwili i wariant, który łączy się po dwa (po trzy, po alef 0, po liczbę nieosiągalną, a może nawet po |Ord| (|Ord||Ord|=|Ord|......?)) na każdym poziomie między 0 a 1.

Wracając do wariantów {A, B}: można rozpatrzyć takie C, w którym na poziomach pośrednich jest wszystko, co może, ale tylko raz (bez łamania ekstensjonalności).

Nowe Fundamenty

Nowe Fundamenty (ang. New Foundations) to zestaw aksjomatów obejmujący tylko aksjomat ekstensjonalności i aksjomat wyróżnienia (ang. comprehension lub specification) dla stratyfikowalnych (takich, że każdej zmiennej można przypisać poziom w ten sposób, że mówimy tylko o byciu przez zbiór elementem zbioru o jeden poziom wyższego) formuł z parametrami. (Nieograniczony aksjomat wyróżnienia mówi, że dla każdej formuły istnieje zbiór obejmujący wszystko to (i tylko to), co ją spełnia, ale prowadzi do paradoksów. Aksjomat podzbioru to wariant aksjomatu wyróżnienia w standardowej teorii zbiorów ZFC (Zormela (Ernst Zermelo, Niemiec) i Fraenkla (Abraham Fraenkel, niemiecki Żyd) z aksjomatem wyboru (ang. choice)), według którego dla każdego zbioru i każdej formuły istnieje podzbiór tych i tylko tych elementów zbioru, które spełniają formułę).

W tej teorii istnieje zbiór wszystkich zbiorów i dopełnienie każdego zbioru, ale nie ma pewnych podzbiorów, więc nie ma też paradoksalnych zbiorów takich, jak zbiór wszystkich zbiorów, które nie zawierają samego siebie, i zbiór wszystkich zbiorów dobrze ufundowanych.

Ktoś twierdzi, że udało mu się udowodnić, że jeśli ZFC jest niesprzeczne, to NF też jest niesprzeczne, ale najwyraźniej nikt jeszcze tego oficjalnie nie sprawdził. Wiadomo, że NF z atomami (urelementami), czyli z osłabionym (działającym tylko dla zbiorów niepustych) aksjomatem ekstensjonalności, jest spójne (i dość słabe). Więc spójne jest też z zupełnym odrzuceniem ekstensjonalności (SF, Stratyfikowalne Fundamenty, Stratified Foundations) lub jeżeli dodatkowo zrezygnujemy z parametrów w formułach dla aksjomatu wyróżnienia. A jeśli tylko zrezygnujemy z tych parametrów? (Myślałbym, że wtedy łatwo udowodnić spójność, bo musi być tylko zbiór dla każdej odpowiedniej formuły, ale mogą być pułapki, których nie widzę.)

Jeśli dodamy do ZFC klasy, np. klasę wszystkich zbiorów, otrzymamy NGB czyli GBC ((von Neumann,) Bernays i Gödel (z wyborem)), albo nieco mocniejszą teorię MK (Morse i Kelley). Zbierając teorie zbiorów warto też wspomnieć o teorii KP (Kripke, Platek; słabej, ale podobnej do ZFC) i pozytywnej teorii zbiorów, w której z grubsza (dokładniej nie pamiętam) muszą istnieć tylko zbiory opisane formułami bez przeczenia (ale fałsz liczy się jako taka formuła bez przeczenia; większość wariantów jest słaba, ale jeden na poziomie liczby słabo zwartej; teoria ze zbiorem wszystkich zbiorów bardzo różna od NF).

V=L jako jedyny aksjomat

Chyba trzeba rozszerzyć język i przyjąć, że LA to wynik funkcji (jako elementu języka) przypisującej zbiorowi inny zbiór. W skrócie ...... SFORMALIZOWAĆ TO ...... przyjmujemy aksjomat
LA=⋃BA LB {{x, y} : x, y∊LB∪{LB}} ∪ {x×y : x, y∊LB∪{LB}} ∪ {{(u, v) : uxvyuv} : x, y∊LB∪{LB}} ∪ {xy : x, y∊LB∪{LB}} ∪ {xy : x, y∊LB∪{LB}} ∪ {⋃x : x∊LB∪{LB}} ∪ {{u : (u, v)∊x} : x∊LB∪{LB}} ∪ {{(v, u) : (u, v)∊x} : x∊LB∪{LB}} ∪ {{(u, w, v) : (u, v, w)∊x} : x∊LB∪{LB}} ∪ {{(w, u, v) : (u, v, w)∊x} : x∊LB∪{LB}}
przy czym dodatkowo trzeba założyć, że wspomniane zbiory też muszą istnieć ...... TEŻ SFORMALIZOWAĆ (nie powinno być problemów, dla zbiorów, które nie są zbiorami uporządkowanymi; to nierównoważna toporna definicja (...... DODAĆ PORZĄDNĄ ......), ale chyba zrównuje się z innymi dla wszystkich liczb granicznych (czyli po omedze kroków) ...... STRZELAM).

Wyniki: ......

ZFC z V=L wszystko rozstrzyga?

Jest dużo modeli ZFC, ale coraz bardziej mam wrażenie, że wszystko można rozstrzygnąć z dokładnością do twierdzenia Löwenheima i Skolema (wg którego jeśli teoria ma nieskończony model, to ma nieskończone modele o każdej kardynalności – przy czym przypuszczam że może być nawet np. model równoliczny z ω13 i z ω9 równolicznym z prawdziwym ω13, ale z Lω8 przeliczalnym (czyli równolicznym z ω czyli ω0)) przyjmując V=L (żeby uniknąć wszystkiego, co można wymusić) i ¬Con(ZFC) (założenie niespójności ZFC gwarantuje chyba jeden rodzaj złego ufundowania i jednocześnie minimalność wysokości modelu (nie ma modeli, więc w szczególności nie ma tranzytywnych modeli)).

Ogólniej przypuszczam, że po dodaniu dowolnych aksjomatów do KP+V=L oraz założenie, że ta teoria jest niespójna (ale dodatkowe aksjomaty mogą zakładać spójność), wszystko jest rozstrzygnięte, ściślej: wszystkie przeliczalne modele KP+V=L+X+¬Con(KP+V=L+X) są izomorficzne w dowolnym modelu KP (czyli że np. wszystkie przeliczalne modele ZFC+V=L+„istnieje ω5+27 liczb sprytnych”+Con10(ZFC+V=L+„istnieje ω5+27 liczb sprytnych”)+¬Con11(ZFC+V=L+„istnieje ω5+27 liczb sprytnych”)*** są izomorficzne – przy czym ograniczenie spójności wciąż uniemożliwia istnienie przechodnich modeli, więc ω5 (które mogłoby zależeć od modelu) musi być najmniejszą liczbą, jak się da). Dla nieprzeliczalnym modeli jest jeszcze pytanie o prawdziwą moc (kardynalność) ich kardynalnych (...... to naprawdę jedyne pytanie, jakie pozostaje? ......).

Twierdzenie Morleya o kategoryczności powinno pasować, bo opisy sugerują, że trudno o teorię totalnie kategoryczną, a wciąż mam nadzieję, że te uściślenia z ZFC są przeliczalnie kategoryczne – to by wystarczyło, żeby wszystkie modele były tak naprawdę izomorficzne, bo w większym modelu mniejszy przechodni (tranzytywny) model może być przeliczalny (razem ze wszystkimi swoimi zbiorami (i klasami)).

Jeśli chodzi o dobrze ufundowane modele, to to są właśnie te przechodnie i oczywiście jest tylko jeden tranzytywny model V=L o danej wysokości.

A co z mocniejszymi aksjomatami dużych kardynalnych? Czy zamiast V=L można użyć V=L[0] albo V=L[0♯♯] itd.? Zresztą nawet jeśli można, to to chyba nie pomoże nawet przy liczbie mierzalnej. Jaki jest na to sposób? Czy liczbę mierzalną, I0, Reinhardtową itp. można uzyskać po prostu z L za pomocą klasowego wymuszenia? A może chociaż jedną mierzalną można załatwić po prostu przy pomocy V=L[μ]? Można mówić o V=L[0]? (W tym miejscu warto zwrócić uwagę, że muzyczny krzyżyk ♯ to po angielsku sharp, czyli ostry, a krzyżyk † to dagger, czyli sztylet (po polsku podobno crux philologorum, obelus (przez łacinę)/obelos (prosto z greki)/obelisk, albo też dagger/sztylet). To zasugerowało matematykom pisanie o 0sword („zero miecz”) i 0 czytanym zero pistol, czyli „zero pistolet”. Wygląda na to, że groźniejszy oręż rezerwują dla pomysłów, na które jeszcze nikt nie wpadł. A czy V=L[0sword] i V=L[0] mają sens i rozstrzygają? Co z 0††††, 0swordswordsword, 0¶¶ i np. 0sword†♯? (Spodziewałbym się, że istnienie 0♯†sword jest równoważne istnieniu 0, bo te znaki są coraz silniejsze, a 0 jest pewnie równoważne 1 i {997, 1997} (a może nawet ω, chociaż pewnie nie ω1), ale to wielkie zgadywanie, zresztą możliwe też, że te wszystkie duże ostre nie stosują się do zbiorów, a tylko do zera.))

*** Con1(X) to Con(X), a Conn+1(X) to Con(X+Conn(X)) (ogólniej (o ile nie pogubiłem się w subtelnościach), po uwzględnieniu liczb nieskończonych, Conα(X) dla α>1 to Con(X+⋀β<αConβ(X))).

Jak wszystko spłaszczyć?

Podobno przy pomocy klasowego wymuszenia można zmienić każdy model ZFC w model V=L[r], gdzie r jest liczbą rzeczywistą, ale nie ma wtedy 0 (...... ale krążą też plotki, że wymuszenie nie może zniszczyć 0 ......) (czyli nie ma też mocniejszych liczb kardynalnych). Można to też potraktować jako zaletę i iść dalej:
  • Bez problemu można pozbyć się wszystkich nieprzeliczalnych światowych porządkowych (liczb porządkowych takich, że Lα to model ZFC), jeśli jest ich mniej niż klasa właściwa – jeśli jest ich zbiór, to ma kres górny, powyżej którego można utworzyć nowe ω1. Ale jeśli jest ich klasa właściwa, zawsze jakieś zostaną powyżej ω1. (Tak czy inaczej nie widzę, jak można by zrobić więcej, niż uczynić je przeliczalnymi.)
  • Można chyba wytępić, nawet jeśli jest ich klasa właściwa, kardynalne światowe, nieosiągalne i czasem takie, które są światowymi porządkowymi (to ostatnie się nie uda np., jeśli wszystkie kardynalne są światowymi porządkowymi (kiedy jeszcze...?)) – zmieniając je wszystkie w zwykłe porządkowe i umieszczając następne kardynalne na ich miejscu.
  • Co do granic światowych porządkowych, zbiór można zmienić w przeliczalny, ale klasa właściwa musi pozostać. To samo z granicami granic czy granicami, które same są światowymi porządkowymi.
  • Wydaje się, że nie da się zmienić liczby, która jest granicą granic itd. na poziomie równym tej liczbie (a to chyba tylko coś podobnego do epsilonów ...... ?????? ...... . To sugeruje, że klasa właściwa tego rodzaju hiper- jest następnym krokiem (Ω ? ΩΩ ? Ω↑↑ω ...... ?????? ......).
  • A co jest dalej? Na początek, czy uda się zniszczyć stacjonarność granicy? Czy od poziomu światowej kardynalnej zostaje tylko potencjalne bycie taką kardynalną (w L)?
Przy okazji: Dla jakiego α model V=L[r] z unieszkodliwionymi (uprzeliczalnionymi) zbiorami dużych kardynalnych mieści się w Lα? Może to szansa na coś większego niż α dla którego sam model z dużymi kardynalnymi mieści się w Lα.

Z drugiej strony, czy są mniejsze niż pierwsza liczba stabilna porządkowe porównywalne z wysokością modelu V=L? A jaka jest największa liczba z nią porównywalna? ωCKOrd+1, a może jeszcze więcej? Czy mając nieprzeliczalną (albo tylko stabilną) w L liczbę można odzyskać cały model?

Uwaga

W ZFC liczby kardynalne można definiować jako początkowe liczby porządkowe, ale już w ZF (bez aksjomatu wyboru) są takie zbiory, których się nie da dobrze uporządkować, czyli liczby kardynalne, których się nie da w ten sposób oddać.

Szalony wariant liczb zespolonych

Dla liczb zespolonych mamy i takie, że i2=−1.

Dla kwaternionów i2=j2=k2=−1, ij=k, ji=−k, a reszta wynika z łączności (przemienności nie ma), czyli
i j k
i −1 k j
j k −1 i
k j i −1
Dla oktonionów
e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7
e1 −1 e4 e7 e2 e6 e5 e3
e2 e4 −1 e5 e1 e3 e7 e6
e3 e7 e5 −1 e6 e2 e4 e1
e4 e2 e1 e6 −1 e7 e3 e5
e5 e6 e3 e2 e7 −1 e1 e4
e6 e5 e7 e4 e3 e1 −1 e2
e7 e3 e6 e1 e5 e4 e2 −1

Te reguły są najbardziej uporządkowane, jak się da (kwaterniony to ciało skośne, czyli ciało nieprzemienne, czyli pierścień z dzieleniem; oktoniony też robią, co się da (są jakimś niełącznym pierścieniem z dzieleniem); sedeniony to jeszcze większa tabelka (15 literek), której tym bardziej nie rozumiem). Ogólniej, wciąż zakładając, że te specjalne liczby komutują ze zwykłymi, możemy też zastosować e2=0 albo e2=1. Jeżeli wynikiem miałyby być inne liczby, można by je było przerobić do przypadku 1 lub −1, np. e2=2 oznacza, że (e/√2)2=1.

Ciekawie jest za to, jeśli przyjmiemy, że a2=b2=1, ale (ab)2=2 (czyli ab=c i c2=2). Możliwości jest na pęczki, więc dla uproszczenia przyjmiemy, że co się da jest przemienne i łączne. Możemy przyjąć, że wszystko jest przemienne:
a b c
a 1 c b
b c 1 a
c b a 2
Możemy też przyjąć, że (ab)(ba)=(ba)(ab)=1. Wtedy trzeba przyjąć ba=d z nową literą i w zależności od d2=α mamy wariant symetryczny d2=2, niesymetrycznie uproszczony d2=1 oraz udziwniony d2=3 (pomijając bardziej udziwnione):
a b c d
a 1 c b b
b d 1 a a
c b a 2 1
d b a 1 α
Jeśli wszystko, co się da, jest łączne, tabelka się komplikuje i w zasadzie nie opłaca się w porównaniu z wyrażeniami wynikającymi z łączności: ab=c, ba=d, aba=e, bab=f (baba=2, bo babab=2b, więc inne liczby odpadają):
a b c d e f
a 1 c b e d 2
b d 1 f a 2 c
c e a 2 1 2a b
d b f 1 2 a 2b
e c 2 a 2a 1 2c
f 2 d 2b b 2d 1
W dodatku tak czy inaczej (abab)(baba)=4≠1=a(b(a(bb)a)b)a

Coś bardziej szalonego niż luki

Zamiast luki ζ pomyślmy o ε takim, że ε+1=ε, ale ε⋅2≠ε (i oczywiście ε+ωε, bo chodzi o coś podobnego do ζ). ...... I CO??? ......

Na odwrót: ε t., że ε⋅2=ε, ale ε+1≠ε. To znaczy, że (ε+1)2=ε2+ε+ε+1=ε2+ε+1. ...... I CO??? ......

Współkońcowość

Współkońcowość (cof, ang. cofinality) bez aksjomatu wyboru trzeba podobno potraktować jak liczbę porządkową. A jeżeli dla zbioru częściowo uporządkowanego (czuzbioru, ang. partially ordered set albo poset) A to ma być porządek częściowy albo grupa porządków częściowych: Co, jeśli zdefiniować to jako klasę zawierającą zbiory izomorficzne do podzbiorów BA takich, że B majoryzuje A (jeśli to poprawna terminologia......), czyli ⋀aAbB ab. Jeśli można dodatkowo żądać, żeby nie istniały CB nieizomorficzne z B, to tego żądamy, ale może czasami nie można tego żądać i wtedy co?...... Chyba należy rozpatrzyć klasę wszystkich czuzbiorów izomorficznych do któregoś z majoryzujących pod-czuzbiorów B czuzbioru A, które nie mają żadnego majoryzującego pod-pod-czuzbioru bez majoryzujących pod-pod-pod-czuzbiorów izomorficznych do B. ......

(Analogicznie dla współpoczątkowości (coinitiality) będzie minoryzacja(?......) ⋀aAbB ba itd. Chyba da się nawet mówić o zbiorach, który jednocześnie majoryzują i minoryzują bez podzbiorów o tych własnościach bez izomorficznych podpodzbiorów. ......)

......Potem można bawić się dalej wykorzystując formalne definicje dla podejścia „wszystko jest zbiorem” (Wydaje się, że taka klasa działa w ZF (można zapisać formułę F(X, Y) równoważną Y∊cof(X)) i nie trzeba GB. Zresztą dlatego nie definiuję współkońcowości jako konglomeratu klas wszystkich czuzbiorów izomorficznych do poszczególnych pod-czuzbiorów – to byłoby bardziej naturalne, ale nie wiem, jak go upchnąć w ZF.) i dopasowywać definicję dla dowolnego zbioru z relacją określoną na nim, a nawet dla dowolnych par uporządkowanych i dowolnych zbiorów. ......

Widok ramek