Matematyka

Intermitencja W

Zobacz. Prosty sztuczny przykład intermitencji daje funkcja
y=57x(1-x)(x2-1,0311x+0,27)
w przedziale [0;1].
Dla Maximy: 
y:57*x*(1-x)*(x^2-1.0311*x+0.27);
plot2d([x,y],[x,0,1]);

To był błąd.

Zobacz. Prosty sztuczny przykład intermitencji daje funkcja yy, którą można znaleźć w Maximie przy pomocy następujących poleceń:
y(x):=a+b*x+c*x^2+d*x^3+e*x^4+f*x^5+g*x^6;
y1(x):=''(diff(y(x),x));
x1:1/3;
x2:2/3;
yy(x):=''(subst(solve([
    y(0)=0, y1(0)=10,
    y(x1)=x1+1/10000, y1(x1)=1,
    y(x2)=1, y1(x2)=0,
    y(1)=0
],[a,b,c,d,e,f,g,h])[1],y(x)));
plot2d([yy(x),x],[x,0,1]);

N:1000;
X:makelist(0,N);
X[1]:0.5;
for i:2 thru N do (
    X[i]:yy(X[i-1])
);
X;
plot2d([discrete,X]);
na przedziale [0;1]. Trzeba było dobierać konkretne parametry metodą prób i błędów, żeby jakiś efekt nie zepsuł intermitencji, ale zasadniczo chodzi o to, że funkcja zaczyna się w 0 ze stromością 10 (ważne, że więcej niż 1), dla 1/3 spada prawie (1/10000 – to właśnie jest intermitencja.) do y=x, dla 2/3 rośnie dokładnie do 1 (to nie takie ważne, daje tylko maksymalny chaos), a dla 1 wraca do 0. Żeby to osiągnąć, potrzeba siedmiu parametrów, a jeśli są to współczynniki wielomianu, równania na nie są liniowe.
Pierwszą część można zastąpić uzyskując funkcję, która ma miejsca zerowe wbudowane, i sama ustala swoje nachylenie początkowe. 
y(x):=x*(1-x)*(a+b*x+c*x^2+d*x^3);
y1(x):=''(diff(y(x),x));
x1:1/3;
x2:2/3;
yy(x):=''(subst(solve([
    y(x1)=x1+1/10000, y1(x1)=1,
    y(x2)=1, y1(x2)=0
],[a,b,c,d])[1],y(x)));
plot2d([yy(x),x],[x,0,1]);
Po zastąpieniu 1/10000 przez epsilon rozwiązaniem jest yy(x):=(1-x)*x*(((729*epsilon-324)*x^3)/4-((1053*epsilon-513)*x^2)/4+((432*epsilon-225)*x)/4-9*epsilon+9). Wybór 1/3 i 2/3 pozostaje nieco arbitralny, ale naturalny, a poza tym funkcja jest najprostszym do uzyskania przykładem intermitencji. (Funkcja, która sama ustala miejsce maksimum (może też jego wartość) i miejsce intermitencji mogłaby być naturalniejsza, ale trudniejsza do znalezienia.)

Zbiór Mandelbrota W

Najprostsze ciekawsze punkty Misiurewicza to rozwiązanie równania
c3+2c2+2c+2=0

Systemy liczbowe i wielkie liczby

Silnia i funkcje holomorficzne

Silnia i gamma Eulera

Silnia to mnożenie liczb od jedynki do danej: 1!≡1, 2!≡1⋅2=2, 3!≡1⋅2⋅3=6, 10!≡1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6⋅7⋅8⋅9⋅10=3628800. Zero silnia to wynik mnożenia niczego (element neutralny mnożenia), czyli O!≡1. Innymi słowy 0!≡1 i (n+1)!≡n!⋅(n+1).

Ten wzór sugeruje już, że (−1)!=∞, bo (−1)!⋅0=0!=1. Tak samo dla dowolnych ujemnych liczb całkowitych, bo np. (−2)!⋅−1=(−1)!=∞.

Funkcja gamma Eulera to sposób na liczenie silni dla dowolnych liczb zespolonych, przy czym z!≡Π(z)≡Γ(z+1), czyli Γ(0)=∞, tak samo dla ujemnych liczb całkowitych.

(Jest też funkcja beta Eulera Β(x, y).)

Funkcje holomorficzne i meromorficzne

Ciekawą własnością funkcji zmiennej zespolonej jest to, że jeżeli mają pochodną w punkcie, to w jakimś otoczeniu tego punktu można je rozwinąć w szereg Taylora (są analityczne). Takie funkcje nazywa się holomorficznymi.

Funkcje holomorficzne, jeśli sztucznie ograniczyć ich domenę, można przedłużać, ale nie zawsze na całą płaszczyznę zespoloną. Mają bieguny (gdzie dochodzą do nieskończoności), właściwe punkty osobliwe i punkty rozgałęzienia (bo choćby zespolone logarytmy i pierwiastki są wielowartościowe). Punkty osobliwe bywają izolowane, mogą mieć granicę, a mogą być gęste i tworzyć mur powstrzymujący przedłużanie funkcji (rozszerzanie domeny).

Funkcja holomorficzna na całej płaszczyźnie zespolonej to funkcja całkowita (ang. entire function).

Do liczb zespolonych można dołączyć nieskończoność ∞≡1/0 i otrzymać sferę Riemanna. Wtedy bieguny można traktować jako zwykłe wartości i mówić o funkcji meromorficznej. Jedyne funkcje holomorficzne na sferze Riemanna to funkcje stałe, a jedyne funkcje meromorficzne na tej sferze to funkcje wymierne (ilorazy wielomianów – jednak więcej możliwości).

Funkcja meromorficzna jest określona przez swoje zera i bieguny (uwzględniając krotności) na maksymalnym obszarze określoności z dokładnością do mnożenia przez funkcję holomorficzną, która nie ma zer, czyli postaci exp(f(z)) dla holomorficznego f(z). Jest też ilorazem dwu funkcji holomorficznych bez wspólnych zer.

Skończona liczba zer czy biegunów to trywialna zmiana.

Gamma jako funkcje meromorficzna

Funkcja holomorficzna, która ma zera dla liczb całkowitych, to na przykład sin(πz).

Funkcja meromorficzna bez zer z biegunami dla liczb całkowitych niedodatnich to na przykład Γ(z). Z tego wynika, że 1/Γ(z)/Γ(−z)/z, z/Γ(1+z)/Γ(1−z) i 1/Γ(z)/Γ(1−z) to też funkcje holomorficzne z pojedynczymi zerami dla wszystkich liczb całkowitych. Biorąc pod uwagę związek z silnią, nie zaskakuje, że są one sobie równe z dokładnością do znaku, a konkretnie równają się −sin(πz)/π, sin(πz)/π i sin(πz)/π (minus, plus, plus).

f(z)≡−exp(iπz)/Γ(−z) to funkcja holomorficzna z zerami dla liczb naturalnych i dodatkowo f(z)=zf(z-1) (po przesunięciu o jeden w prawo i pomnożeniu przez z otrzymujemy tę samą funkcję), f(−1)=1 oraz f'(0)=1.

f(z)≡sin(πz)/π ma zera dla liczb całkowitych i f'(n)=1 dla liczb parzystych (ale −1 dla nieparzystych).

f(z)≡exp(iπz)⋅sin(πz)/π (co ciekawe f(z)=(exp(2iπz)−1)/(2iπ)) ma zera dla liczb całkowitych i f'(n)=1 dla każdej liczby całkowitej, ale to samo stosuje się co najmniej do exp((2k+1)iπz)⋅sin(πz)/π.

To wszystko ma związek z faktem, iż wykres funkcji typu exp(ix) dla rzeczywistego x to helisa (linia śrubowa, spirala jak sprężyna). (A czy słyszeliście o linii śrubowej stożkowej?)

Równoważenie zer i biegunów

W dowolnym otoczeniu istotnej osobliwości funkcja meromorficzna musi przyjmować każdą wartość ze sfery Riemanna z wyjątkiem najwyżej dwu. (Jeżeli nie wykluczymy innych liczb, zera i bieguny mogą pełnić szczególną rolę.)

Dla funkcji wymiernych zero/biegun w nieskończoności zapewnia, że funkcja ma tyle samo zer i biegunów (uwzględniając krotności).

Dla funkcji z osobliwością istotną można dodać zero względnie biegun bez dodania bieguna względnie zera, ale to polega na umieszczeniu jednego w nieskończoności przy mnożeniu przez funkcję homograficzną (az+b)/(cz+d).

Taka sztuczka działa dla funkcji okresowych – w osobliwość w nieskończoności można wepchnąć nieskończoną liczbę zer/biegunów, z pewnego punktu widzenia nieskończoność należy do wszystkich okresów. (Można też umieścić dodatkową osobliwość w każdym okresie. Zresztą z drugiej strony jeśli zera i nieskończoności są zrównoważone (nie ma ich, jak dla funkcji wykładniczej (ma okres 2iπ), albo jest np. po jednym na okres, jak dla tangensa), to nie widać wielkiej różnicy.)

Funkcje dwuokresowe mają dwa niezależne okresy zespolone. Wartości powtarzają się na płaszczyźnie zespolonej w równoległobokach (łatwo je przerobić na prostokąty albo i kwadraty (przeskalowujemy, żeby okresy były choćby 1 i i)). Funkcje dwuokresowe bez osobliwości istotnych (meromorficzne na płaszczyźnie zespolonej) są znane jako eliptyczne.

Dla funkcji dwuokresowych osobliwość w nieskończoności nie należy do żadnego równoległobocznego okresu, więc (jeśli nie damy osobliwości w każdym okresie) zera i bieguny muszą być zrównoważone i muszą być, chyba że funkcja jest stała – analogicznie jak dla funkcji wymiernych. W dodatku dla funkcji eliptycznych muszą być co najmniej dwa bieguny (licząc krotność), gdyż całka po brzegu okresu (dobranego tak, by brzeg omijał bieguny) wynosi zero (każdy bok jest bokiem sąsiedniego okresu ze znakiem minus).

Widok ramek