Piramidalnie hiperstacjonarne granice i liczby porządkowe

Piramidalnie hiperstacjonarne granice (też zainspirowane czymś zapożyczonym; mam nadzieję, że się nie mylę), czyli ΩΩ↑↑ωΩΩΩΩΩΩΩΩ:

Dodatkowe uwagi

(Tu była notacja strzałek w górę. A co z notacją łańcucha strzałek: ΩΩΩΩΩΩΩΩ?)
Z odpowiednią interpretacją i znakiem małpy (oznaczającym, że liczba ma odpowiednią formę stacjonarności nawet z perspektywy podanej za nim większej liczby) tego zapisu można użyć aby opisać konkretne liczby porządkowe, niezależne od modelu, przynajmniej przy założeniu V=L. Najbardziej podstawowe przykłady (widać, że niektóre bardziej znane pojęcia mają bardziej skomplikowany zapis niż mniej znane; można też przyjąć, że bez nawiasów kwadratowych chodzi tylko o formę stacjonarności, nie o konkretną liczbę):

Podobne zabawy dla rekursywnych liczb porządkowych

Dla porównania spróbuję wyjaśnić funkcję Veblena φ:(to wystarczy?) W mojej notacji z kolei:Na Ωα nie widać tu miejsca, bo już ωΩ1=Ω1 i nie jest rekursywne (chociaż jest o wiele mniejsze niż Ω1@ΩΩ). Wygląda (niezbyt dokładnie, zresztą nie rozumiem tych zapisów), że ωX to z grubsza to samo, co ψ(X) (chociaż symbol Ω oznacza tu podobno coś innego), czyli rośnie trochę wolniej niż θ(X)≈ωΩX.

Zastosowanie akermańskości do liczb naturalnych

Analogiczne rozumowanie można zastosować do liczb. Otrzymujemy (tylko krótkie przypomnienie i wskazówki na temat interpretacji):
Szacujemy to w języku szybko rosnącej hierarchii:

Akermanilion

Jest też moda na wielkie liony. To moja propozycja (przy odpowiednim doborze konkurencji może nawet naprawdę rekordowa, chociaż takie mniej oryginalne liony jak np. fSVO(gogolpleks), fLVO(gogolpleks) itd. (z większymi rekursywnymi liczbami porządkowymi) oraz nieobliczalne fωCK1(gogolpleks), f[Ω1](gogolpleks) itd. (f to dowolna (zależy, jaką odmianę lionów wolimy) z funkcji, które za chwilę zdefiniujemy, a indeks dolny oznacza szybko rosnącą hierarchię (doprecyzowaną za pomocą dobrego uporządkowania L) – tym sposobem wykorzystujemy małą lub dużą porządkową Veblena, pierwszą liczbę dopuszczalną albo wysokość pierwszego modelu ZFC) są jeszcze większe):

Można powiedzieć, że liony tworzy się przy pomocy funkcji f(n), przy czym dla długiej skali jest to f(n)≡106n (poprawna w Polsce i mnie się bardziej podoba), a dla krótkiej f(n)≡103n+3. Ktoś wymyślił yliony (taka nazwa, bo miriada po angielsku to myriad (z greckiego ἡ μυριάς, μυριάδος ( ("ta") myrias, (dopełniacz) myriados) z ypsilonem), chociaż po polsku nie dość, że brakuje tego uzasadnienia, to np. zwykły trylion ma końcówkę -yliony) wg potężniejszej zasady: miriada miriad to mylion, mylion mylionów to bylion, bylion bylionów to (ylionowy) trylion, (ylionowy) trylion (ylionowych) trylionów to (ylionowy) kwadrylion itd. (podobnie jak dla systemu „kłoda, gaj, las, bór, ..., chomik, kłodokłoda, ...”). To daje f(n)≡104⋅2n. Można też pomieszać te skale (za chwilę to wykorzystamy).

Sam akermanilion to (A(f))(gogolpleks), przy czym
Drugi akermanilion (odpowiednio drugi mały akermanilion, drugi duży akermanilion, drugi podmały akermanylion, drugi mały akermanylion, drugi akermanylion) to (A(f))2(gogolpleks)≡(A(f))((A(f))(gogolpleks)). Dalej(to większe liczby, które też można by nazwać drugim akermanilionem).
To już trochę trudno formalnie zdefiniować, ale wzorywydają się oczywiste, a narzucającą się kontynuacją jest
Potem można pomyśleć ...... JEŚLI NIE UTKNĘLIŚMY ...... np. oitd. ...... (hiperzygzakowatość, hiperhiperzygzakowatość, azetowatość) ......

Inne zastosowania

Podobnie ωCKΩ, czyli α=ωCKα i ωΩ, czyli α=ωα z rodzinami.

Rozważając liczby dopuszczalne (admissible), chciałoby się napisać ΩCKω=ωCKω+1 (bo ωCKω to granica liczb dopuszczalnych, która sama nie jest dopuszczalna). Ale zdaje się, że dopiero liczby dopuszczalnie słabo zwarte czują się w jakiś sposób 2-stacjonarne, czyli są prawdziwymi analogami ω2. Na to pierwsze przyda się inny zapis (......). (Zresztą jak odróżnić różne ω1 (różnych modeli ZFC i ZFC), o których mowa przy początku listy? Zdaje się, że

A co z ΩΩCK i innymi tego typu zapisami? Na razie nie mogę znaleźć dla nich sensu.

Za to Ω może oznaczać mierzalność – Ω to liczba mierzalna, Ω2 to liczba mierzalna, która ma pod sobą mierzalny zbiór liczb mierzalnych (czy jak to się nazywa...) itd.

Interpretacja wspinaczkowa

Interpretacja wspinaczkowa (ang. climbing interpretation), jeżeli się nie mylę, polega na tym, że po X↑↑ω jedynka zaczyna się wspinać:i tym sposobem dochodzimy do XXX1. Potemaż dojdziemy do XXX2 i analogicznie dalej.
Trochę bardziej zwięźle i formalnie i dalej (α>1) oraz oczywiście dla granicznego alfa X↑↑ωα≡supβ<α X↑↑ωβ.

Dalej np. ΩΩ↑↑ωΩ to pierwsza liczba α=ΩΩ↑↑ωΩ, a ΩΩ↑↑ωΩΩΩΩ↑↑(ω+1) to hiperstacjonarna granica takich liczb. Analogicznie ...... TO DOBRE PODEJŚCIE??? BOJĘ SIĘ, ŻE OSŁABIAM ...... ΩΩ↑↑(ω+2)≡ΩΩ↑↑ωΩΩΩΩ to granica typu ΩΩΩΩ ??? ...... , a ogólnie mamy X↑↑ωY i X↑↑(ω+α) ...... CZY NIE OSŁABIAM ??? ...... z odpowiednim wzorem rekurencyjnym (...... i oczywistym podejściem do granic ......), któr? ...... po ω2 ...... jakby utyka ...... I W SUMIE CO ROBI ??? ......

Najmniejsze nierekurencyjne porządkowe

ωCK1 to najmniejsza liczba nierekursywna (nieobliczalna; i druga dopuszczalna) liczba porządkowa (ωCK0=ω0=ω jest rekursywne (ale to najmniejsza liczba dopuszczalna); wszystkie większe też są nierekursywne). Pierwsza liczba, której nie można ze jej pomocą opisać to ωCK2. Potem są kolejne ωCKn, a ωCKω nie jest liczbą dopuszczalną. Po ωCKω+1 dochodzimy w końcu do ωCKωCK1, ωCKωCKω i dalej do pierwszego punktu stałego α=ωCKα (czyli, jak pisałem wyżej, ωCKΩ albo ωCK(1, 0)).

Dalsza notacja wymaga naśladowania funkcji Veblena albo czegoś słabszego. ...... W każdym razie dochodzimy do punktu stałego, którego numer jest równy jemu, a potem jeszcze dalej (za granicę odpowiednika funkcji Veblana i jego uogólnień). Czy od razu po wyczerpaniu się tych możliwości dojdziemy do liczby rekursywnie nieosiągalnej (pierwszej dopuszczalnej granicy dopuszczalnych). ......Czy po wyczerpaniu uogólnień rekursywnie 1-nieosiągalnych, rekursywnie hiper-nieosiągalnych itd. dojdziemy od razu do rekursywnie malonowej (liczby rekursywnie Mahlo)?

A potem co? (Rekursywnie słabo zwarte i coś bez prostej nazwy? Jakieś odpowiedniki hiperstacjonarnych (czy tutaj ΩΩ+1 ma sens, w przeciwieństwie do oryginału (o ile moje oryginalne rozważania w ogóle są poprawne))? Coś z Π i Σ? A potem naprawdę nie wiem, co. Można mówić o następnym etapie po hiperstacjonarnych i ich ewentualnych uogólnieniach, ale co w ogóle miałoby mieć sens po tym następnym etapie? (Wydaje się, że coś takiego jednak musi być, tylko trudno powiedzieć, jak długi będzie pierwszy etap „po hiperstacjonarnych i ich ewentualnych uogólnieniach”, po którym będzie drugi etap „po hiperstacjonarnych i ich ewentualnych uogólnieniach”.)) ......

Może można wykorzystać te liczby, żeby zapisać rekursywne porządkowe w OCF (Ordinal Collapsing Function, funkcja kolapsująca porządkowe). ......

Inne podejście

Widok ramek