Piramidalnie hiperstacjonarne granice i liczby porządkowe

Piramidalnie hiperstacjonarne granice (też zainspirowane czymś zapożyczonym; mam nadzieję, że się nie mylę), czyli Ω_Ω↑↑ω≡Ω_Ω^{Ω_ΩΩ_ΩΩ_Ω⋅⋅⋅}:

• Ω≡Ω₀ to dowolna granica (0-stacjonarna; pierwsza to rozmiar zbioru liczb naturalnych, czyli ω≡ω₀).
• Ω⋅2 to druga granica, czyli ω⋅2.
• Ω² to granica granic (ω²).
• Ω₁ to (1-)stacjonarna granica, czyli taka, że każdy ciąg dążący do niej ma granicę poniżej
  • (w ogólnym przypadku ma zawierać granice danego danego typu, jeżeli zawiera wszystkie granice (jest domknięty – czyli donie – bo „nie” znaczy, że jest nieograniczony, a nie kończy się przed granicą, jeśli do niej zmierza) (jak regularne granice regularnych liczb (albo nieosiągalne granice nieosiągalnych liczb – w równoważnej definicji) dla liczb Mahlo), ale granica liczb porządkowych zawsze jest liczbą porządkową),
  czyli ω₁ (przy czym może to być ω₁ modelu ZFC⁻ – a nawet Ord=ω₁ modelu ZFC⁻+„wszystkie porządkowe są przeliczalne”).
• Ω₁⋅Ω to granica stacjonarnych granic, która jest stacjonarną granicą (ma współkońcowość ω₁; ale nie musi być stacjonarną granicą stacjonarnych granic), czyli ω₁² (wreszcie coś ciekawego).
• Ω₁² to stacjonarna granica stacjonarnych granic (całkiem spora liczba, ale o wiele mniejsza niż ω₂; ω₁^ω₁?).
• Ω₁^Ω to granica liczb typu Ω₁^α, która sama jest liczbą tego typu.
• Ω₂ to 2-stacjonarna granica, czyli granica taka, że każdy ciąg dążący do niej ma 1-stacjonarne granice (z analogiczną poprawką, że to prostszy przypadek), czyli ω₂NIE, to już poziom słabo zwartej .......
• Ω_ω to ω-stacjonarna granica, czyli granica taka, że każdy ciąg dążący do niej ma n-stacjonarne granice dla każdego naturalnego n (prostszy przypadek), czyli ω_ω+1 (ω_ω nie jest regularna, a ciąg ω₀, ω₁, ω₂, ω₃... nie ma po drodze żadnych granic swoich podciągów).
• Ω_α to α-stacjonarna granica, czyli granica taka, że każdy ciąg dążący do niej ma β-stacjonarne granice dla każdego β<α (prostszy przypadek).
• Ω_Ω to hiperstacjonarna granica, czyli granica κ taka, że każdy ciąg dążący do niej ma α-stacjonarne granice dla każdego α<κ (prostszy przypadek)
  • (to jest własność Ord (klasy wszystkich liczb porządkowych w pewnym modelu ZFC, czyli wysokości pewnego modelu ZFC),
  • a jeżeli ma mieć miejsce z perspektywy większego uniwersum, to własność liczb nieosiągalnych (bycie liczbą światową (worldly) nie wystarczy))
  • (κ jest κ-stacjonarna – więcej się nie da, bo nawet najmniejsza liczba więcej-niż-hiper-stacjonarna κ musiałaby mieć pod sobą liczbę κ-stacjonarną, która też byłaby więcej-niż-hiper-stacjonarna (sprzeczność)).
• Ω_Ω⋅Ω to granica liczb hiperstacjonarnych, która jest hiperstacjonarna, czyli Ord modelu aksjomatu uniwersów (Ω_Ω+1 to to samo, więc nie ma sensu o tym mówić ...... ?????? ......).
• Ω_Ω⋅Ω₁ to stacjonarna granica liczb hiperstacjonarnych (nieosiągalnych), która jest hiperstacjonarna, czyli Ord, które jest Mahlo (Ord modelu „Ord jest Mahlo”; jeśli ma być z perspektywy większego uniwersum, to musi być liczba Mahlo).
• Ω_Ω⋅Ω₂ to chyba 2-stacjonarna liczba kardynalna z perspektywy slajdów Bagarii (ewentualnie Ord, które ma taką własność – to samo dla kolejnych przykładów).
• Ω_Ω² wydaje się oznaczać hiperstacjonarną kardynalną (chociaż nie widzę potwierdzenia, że u Bagarii ta nazwa miała oznaczać to, co wydaje się oznaczać przez analogię z hipernieosiągalnymi).
• Ω_Ω^Ω to granica liczb typu Ω_Ω^α, która sama ma te wszystkie własności dla wszystkich α<κ.
• Ω_Ω^Ω₁ to stacjonarna granica liczb typu Ω_Ω^α, która sama ma te wszystkie własności dla wszystkich α<κ.
• Ω_Ω^Ω_Ω to hiperstacjonarna granica liczb typu Ω_Ω^α, która sama ma te wszystkie własności dla wszystkich α<κ.
• Tym sposobem dochodzimy do pierwszej liczby typu Ω_Ω↑↑ω (piramidalnie hiperstacjonarnej; a potem kolejnych), następnie
  • Ω_Ω↑↑ω⋅Ω (granicy piramidalnie hiperstacjonarnych, która jest piramidalnie hiperstacjonarna),
  • (Ω_Ω↑↑ω)² (piramidalnie hiperstacjonarnej granicy piramidalnie hiperstacjonarnych),
  • (Ω_Ω↑↑ω)^Ω,
  • Ω_Ω↑↑(ω+1)≡(Ω_Ω↑↑ω)^Ω_Ω (uwaga: rytm w tej tetracji (i ogólnie po każdej granicznej porządkowej w wykładniku hiperoperacji) jest zakłócony – niezgodny z zasadą a↑b↑c=a↑(b↑c) – to może powodować co najmniej, że liczby są mniejsze, niż by się wydawało (może gorzej, ale nie jestem pewny, że naprawdę cokolwiek psuje)),
  • Ω_Ω↑↑α,
  • Ω_Ω↑↑Ω,
  • Ω_Ω↑↑↑2≡Ω_Ω↑↑Ω_Ω,
  • Ω_Ω↑⁴2≡Ω_Ω↑↑↑Ω_Ω,
  • Ω_Ω↑^ω+12≡Ω_Ω↑^ωΩ_Ω (liczby typu Ω_Ω↑ⁿΩ_Ω dla każdego n),
  • (Ω_Ω↑^ω+12)⋅Ω_Ω (hiperstacjonarnej granicy liczb typu Ω_Ω↑^ω+12, która sama ma tę własność),
  • (Ω_Ω↑^ω+12)²≡(Ω_Ω↑^ω+12)⋅(Ω_Ω↑^ω+12) (granicy typu Ω_Ω↑^ω+12 liczb tego typu),
  • (po paru podobnych krokach) Ω_Ω↑^ω+13≡(Ω_Ω↑^ω+12)↑^ωΩ_Ω (liczby typu (Ω_Ω↑^ω+12)↑ⁿΩ_Ω dla każdego n),
  • Ω_Ω↑^ω+1ω,
  • Ω_Ω↑^ω+1Ω,
  • Ω_Ω↑^ω+22≡Ω_Ω↑^ω+1Ω_Ω,
  • Ω_Ω↑^ω₁Ω_Ω,
  • Ω_Ω↑^ΩΩ_Ω
  • i Ω_Ω↑^Ω₁Ω_Ω.
• Teraz pojawia się coś, co można nazwać liczbami akermańsko hiperstacjonarnymi, A(Ω_Ω)≡Ω_Ω↑^Ω_ΩΩ_Ω (analogia do liczb Ackermanna (inna definicja niż funkcja Ackermanna); ≡Ω_Ω↑^Ω_Ω+12; w grę wchodzą też proste uogólnienia typu Ω_Ω↑^Ω_Ω+1Ω_Ω i Ω_Ω↑^{Ω_Ω↑Ω_ΩΩ_Ω}Ω_Ω), a następnie
  • A²(Ω_Ω)≡A(A(Ω_Ω))≡(Ω_Ω↑^Ω_ΩΩ_Ω)↑^{Ω_Ω↑Ω_ΩΩ_Ω}(Ω_Ω↑^Ω_ΩΩ_Ω) (czyli po prostu składanie funkcji; akermańsko hiperstacjonarna granica liczb typu (Ω_Ω↑^Ω_ΩΩ_Ω)↑^α(Ω_Ω↑^Ω_ΩΩ_Ω), czyli akermańsko hiperstacjonarnych granic liczb typu (Ω_Ω↑^Ω_ΩΩ_Ω)↑^αβ (budowa zaczyna się od (Ω_Ω↑^Ω_ΩΩ_Ω)², akermańsko hiperstacjonarnych granic liczb akermańsko hiperstacjonarnych)),
  • A^ω(Ω_Ω) (liczba typu Aⁿ(Ω_Ω) dla każdego n),
  • A^ω+1(Ω_Ω)≡A(A^ω(Ω_Ω))≡(A^ω(Ω_Ω))↑^Aω(Ω_Ω)(A^ω(Ω_Ω)) (odpowiednia granica typu A^ω(Ω_Ω) granic tegoż typu A^ω(Ω_Ω) porządkowych jak (A^ω↑^αβ)(Ω_Ω),
  • A^Ω(Ω_Ω),
  • A^Ω_Ω(Ω_Ω),
  • (A↑↑2)(Ω_Ω)≡A^A(Ω_Ω)(Ω_Ω),
  • (A↑↑ω)(Ω_Ω),
  • (A↑↑Ω)(Ω_Ω),
  • (A↑↑Ω_Ω)(Ω_Ω),
  • (A↑↑↑2)(Ω_Ω)≡(A↑↑(A(Ω_Ω)))(Ω_Ω),
  • i dalej, przez (A↑^X_.3X_.2)(X_.1) (gdzie X_.1, X_.2 i X_.3 mogą zawierać Ω lub nie).
• Tym sposobem z kolei dochodzimy do liczb 1-akermańsko hiperstacjonarnych A₁(Ω_Ω)≡(A(A))(Ω_Ω)≡(A↑^A(Ω_Ω)(A(Ω_Ω)))(Ω_Ω) (≡(A↑^A(Ω_Ω)+12)(Ω_Ω)).
  • Następny etap wymaga rozpisania: Przez (między innymi, obok innych kroków analogicznych do tego, co wcześniej rozważaliśmy)
    • (A₁(Ω_Ω))² (1-akermańsko hiperstacjonarną granicę liczb 1-akermańsko hiperstacjonarnych),
    • kolejne (A₁(Ω_Ω))ⁿ,
    • (A₁(Ω_Ω))^ω, (A₁(Ω_Ω))^Ω, (A₁(Ω_Ω))^Ω_Ω, (A₁(Ω_Ω))^A(Ω_Ω),
    • (A₁(Ω_Ω))↑↑2≡(A₁(Ω_Ω))^A₁(Ω_Ω),
    • (A₁(Ω_Ω))↑↑ω (liczby piramidalnie 1-akermańsko hiperstacjonarne),
    • różne dalsze (A₁(Ω_Ω))↑^X_.2X_.1
    • i A(A₁(Ω_Ω))≡(A₁(Ω_Ω))↑^A₁(Ω_Ω)(A₁(Ω_Ω)) (liczby akermańsko 1-akermańsko hiperstacjonarne)
    • dochodzimy do A₁²(Ω_Ω)≡A₁(A₁(Ω_Ω)), czyli do zastosowania 1-akermańskości do 1-akermańskiej hiperstacjonarności (liczby 1-akermańsko 1-akermańsko hiperstacjonarne (tak, powtarzamy „1-akermańsko”)).
    • Teraz, przez analogię do tego, co już było, nie tak trudno zrozumieć liczby typu (A₁↑^X_.2X_.1)(Ω_Ω).
    • Ciągnąc stare pomysły przez (A(A₁))(Ω_Ω)≡(A₁↑^A₁(Ω_Ω)(A₁(Ω_Ω)))(Ω_Ω),
    • (A²(A₁))(Ω_Ω)≡(A(A(A₁)))(Ω_Ω)≡((A(A₁))↑^{(A(A₁))(Ω_Ω)}((A(A₁))(Ω_Ω)))(Ω_Ω)≡((A₁↑^A₁(Ω_Ω)(A₁(Ω_Ω)))↑^{(A₁↑A₁(Ω_Ω)(A₁(Ω_Ω)))(Ω_Ω)}((A₁↑^A₁(Ω_Ω)(A₁(Ω_Ω)))(Ω_Ω)))(Ω_Ω) i hiperoperacje na funkcjach uogólnione w oczywisty sposób
    • w sumie kończymy drogę do 2-akermańsko hiperstacjonarnych A₂(Ω_Ω)≡(A₁(A₁))(Ω_Ω)≡((A(A))(A₁))(Ω_Ω).
  • Ogólniej α-akermańskość można opisać wzorem A_α+1(X)≡(A_α(A_α))(X)≡(A_α↑^A_α(X)(A_α(X)))(X) (dla następników – granica granic, jak zwykle dla wyrażeń tego typu; dla granicznych porządkowych wszystkie niższe własności; Ω itp. też jak zwykle).
    • Stwierdzamy, że uzasadnione będzie A₀≡A.
    • Zakładając uogólnioną hipotezę kontinuum (generalised continuum hypothesis, GCH), podobnie mamy ω_α+1=2^ω_α (stosując potęgowanie kardynalnych do porządkowych).
  • Dalej mamy liczby typu (A↓↓2)(X)≡A_A(X)(X),
  • a zaraz potem typu (A↓↓(α+1))(X)≡A_{(A↓↓α)(X)}(X)
    • (oczywiście z (A↓↓ω)(X) (piramidoakermańskość), (A↓↓Ω)(X) i (A↓↓Ω_Ω)(X) jako odpowiednimi granicami).
  • Następnie (A↓↓↓2)(X)≡(A↓↓A(X))(X)
  • i ogólnie (A↓^X_.3X_.2)(X_.1).
• Teraz antyakermańskość: (Ɐ(A))(X)≡(A↓^A(X)A(X))(X) (kontradmirał to prawie admirał, a antyakermańskość to trochę więcej niż akermańskość), czyli
  • (Ɐ(A))(Ω_Ω) ((pierwsza) liczba antyakermańsko hiperstacjonarna)
  • oraz (Ɐ(A))²(Ω_Ω)≡(Ɐ(A))((Ɐ(A))(Ω_Ω)),
  • (Ɐ(A))^ω(Ω_Ω),
  • (Ɐ(A))^Ω(Ω_Ω),
  • (Ɐ(A))^Ω_Ω(Ω_Ω),
  • ((Ɐ(A))↑↑2)(Ω_Ω)≡(Ɐ(A))^{(Ɐ(A))(Ω_Ω)}(Ω_Ω) (antyakermańsko hiperstacjonarna granica liczb typu (Ɐ(A))^α(Ω_Ω), która sama ma wszystkie te własności; ogólniej ((Ɐ(A))↑↑2)(X)≡(Ɐ(A))^(Ɐ(A))(X)(X)),
  • ((Ɐ(A))↑↑3)(Ω_Ω)≡(Ɐ(A))^{((Ɐ(A))↑↑2)(Ω_Ω)}(Ω_Ω) (granica typu ((Ɐ(A))↑↑2)(Ω_Ω) liczb typu (Ɐ(A))^α(Ω_Ω), która sama ma wszystkie te własności),
  • rozmaite ((Ɐ(A))↑↑X)(Ω_Ω),
  • ((Ɐ(A))↑↑↑2)(Ω_Ω)≡((Ɐ(A))↑↑((Ɐ(A))(Ω_Ω)))(Ω_Ω),
  • ((Ɐ(A))↑^X_.1X_.2)(Ω_Ω),
  • (A₀(Ɐ(A₀)))(Ω_Ω)≡(A(Ɐ(A)))(Ω_Ω)≡((Ɐ(A))↑^{(Ɐ(A))(Ω_Ω)}((Ɐ(A))(Ω_Ω)))(Ω_Ω)
    • (liczby (0-)akermańsko-antyakermańsko hiperstacjonarne
    • (ten myślnik w „akermańsko-antyakermańsko” oznacza inne podejście niż dla 1-akermańsko 1-akermańsko hiperstacjonarnych – przysłówek stosuje się do przymiotnika z drugim przysłówkiem, a przedrostek tylko do przysłówka)),
  • (A₁(Ɐ(A)))(Ω_Ω) (liczby 1-akermańsko-antyakermańsko hiperstacjonarne),
  • (A_n(Ɐ(A)))(Ω_Ω) (liczby n-akermańsko-antyakermańsko hiperstacjonarne),
  • (A_ω(Ɐ(A)))(Ω_Ω) (liczby ω-akermańsko-antyakermańsko hiperstacjonarne),
  • (A_Ω(Ɐ(A)))(Ω_Ω) (liczby Ω-akermańsko-antyakermańsko hiperstacjonarne),
  • (A_ΩΩ(Ɐ(A)))(Ω_Ω) (liczby Ω_Ω-akermańsko-antyakermańsko hiperstacjonarne),
  • ((A↓↓2)(Ɐ(A)))(Ω_Ω)≡(A_{(A(Ɐ(A)))(ΩΩ)}(Ɐ(A)))(Ω_Ω) (ogólniej ((A↓↓2)(F))(X)≡(A_(A(F))(X)(F))(X)),
  • ((A↓↓)(Ɐ(A)))(Ω_Ω) (liczby piramidoakermańsko-antyakermańsko hiperstacjonarne),
  • rozmaite ((A↓^X_.1X_.2)(Ɐ(A)))(Ω_Ω)
  • i (Ɐ(A))₁(Ω_Ω)≡((Ɐ(A))(Ɐ(A)))(Ω_Ω)≡((A↓^{(Ɐ(A))(Ω_Ω)}((Ɐ(A)))(Ω_Ω))(Ɐ(A)))(Ω_Ω)
    • (liczby 1-antyakermańsko hiperstacjonarne
      • (dałoby się je też nazwać liczbami antyakermańsko-antyakermańsko stacjonarnymi, ale ta druga nazwa przyda się dla mocniejszego pojęcia, które nie ma innej;
      • chciałoby się też użyć Ɐ₁≡Ɐ(Ɐ), ale najpierw musielibyśmy mieć Ɐ₁ – zapętlenie – nie da się);
    • ogólniej ((Ɐ(A))(F))(X)≡((A↓^F(X)(F(X)))(F))(X);
    • znowu wychodzi (Ɐ(A))₀≡Ɐ(A)).
• Wykorzystując ostatnią ideę (szczegóły już omijam) przez
  • (Ɐ(A))_n(Ω_Ω) (kolejne n-antyakermańsko hiperstacjonarne),
  • (Ɐ(A))_ω(Ω_Ω) (ω-antyakermańsko hiperstacjonarne, czyli n-antyakermańsko hiperstacjonarne dla każdego n),
  • (Ɐ(A))_ΩΩ(Ω_Ω) (Ω_Ω-antyakermańsko hiperstacjonarne, czyli hiperstacjonarne granice liczb α-antyakermańsko hiperstacjonarnych, które mają wszystkie te własności),
  • ((Ɐ(A))↓↓2)(Ω_Ω)≡(Ɐ(A))_{(Ɐ(A))(ΩΩ)}(Ω_Ω),
  • ((Ɐ(A))↓↓3)(Ω_Ω)≡(Ɐ(A))_{((Ɐ(A))↓↓2)(ΩΩ)}(Ω_Ω),
  • ((Ɐ(A))↓↓ω)(Ω_Ω) (liczby piramidoantyakermańskie, są typu ((Ɐ(A))↓↓n)(Ω_Ω) dla każdego n),
  • ((Ɐ(A))↓↓(ω+1))(Ω_Ω)≡(Ɐ(A))_{((Ɐ(A))↓↓ω)(ΩΩ)}(Ω_Ω) (piramidoantyakermańskie granice liczb typu (Ɐ(A))_α(Ω_Ω), które mają wszystkie te własności)
  • i (większy skok) rozmaite ((Ɐ(A))↓^X_.2X_.1)(Ω_Ω)
  • dochodzimy do (Ɐ²(A))(Ω_Ω)≡(Ɐ(Ɐ(A)))(Ω_Ω) (to są te wcześniej zaplanowane liczby antyakermańsko-antyakermańsko stacjonarne).
  • Potem ((Ɐ↑↑2)(A))(Ω_Ω)≡(Ɐ^{(Ɐ(A))(Ω_Ω)}(A))(Ω_Ω) itp.
• Teraz nie wymaga chyba wielu dodatkowych wyjaśnień n-zygzak-akermańskość. Definiujemy:
  • zA₀(Ω_Ω)≡Ω_Ω (0-zygzak-akermańsko hiperstacjonarne, czyli po prostu hiperstacjonarne)
  • zA₁(Ω_Ω)≡A(Ω_Ω) (1-zygzak-akermańsko hiperstacjonarne, czyli akermańsko hiperstacjonarne),
  • zA₂(Ω_Ω)≡(Ɐ(A))(Ω_Ω) (2-zygzak-akermańsko hiperstacjonarne, czyli antyakermańsko hiperstacjonarne),
  • zA₃(Ω_Ω)≡((A(Ɐ))(A))(Ω_Ω)≡((Ɐ↑^{(Ɐ(A))(Ω_Ω)}((Ɐ(A))(Ω_Ω)))(A))(Ω_Ω) (3-z.-a. h-s. – to własność wyraźnie mocniejsza niż bycie akermańsko-antyakermańsko hiperstacjonarną mimo zapisu różniącego się tylko ustawieniem nawiasów),
  • zA₄(Ω_Ω)≡(((Ɐ(A))(Ɐ))(A))(Ω_Ω) (4-z.-a. h-s.) itd.
  • Wszystkie te własności mają ω-zygzak-akermańsko hiperstacjonarne zA_ω(Ω_Ω).
• Ogólniejsza α-zygzak-akermańskość wymaga dodatkowych rozważań do poczucia (do zdefiniowania zresztą też), a ryzyko błędu jest jeszcze większe niż wcześniej:
  • (zA_ω(Ω_Ω))² to ω-zygzak-akermańsko hiperstacjonarna granica ω-zygzak-akermańsko hiperstacjonarnych.
  • Dalej podobnie trywialnymi krokami dochodzimy (żwawo skacząc) do
    • (zA_ω(Ω_Ω))^Ω,
    • (zA_ω(Ω_Ω))↑^X_.1X_.2
    • i A(zA_ω(Ω_Ω)).
  • Potem, drogą, którą już przeszliśmy, nawet jeśli jest długa, idziemy do
    • A₁(zA_ω(Ω_Ω))≡(A(A))(zA_ω(Ω_Ω)),
    • zA₂(zA_ω(Ω_Ω))≡(Ɐ(A))(zA_ω(Ω_Ω))
    • i zA_ω²(Ω_Ω)≡zA_ω(zA_ω(Ω_Ω)).
  • Analogicznie jak przy początku niniejszego głównego punktu (chociaż używając trochę ciekawszych pomysłów) dochodzimy do
    • (zA_ω)^Ω(Ω_Ω),
    • (zA_ω↑^X_.1X_.2)(Ω_Ω)
    • i (A(zA_ω))(Ω_Ω) (można by to nazwać ω+1-zygzak-akermańsko hiperstacjonarnymi, ale da się dojść dalej, zanim użyje się tej nazwy (i odpowiedniego symbolu)).
  • Przez
    • ((A(zA_ω))↑^X_.1X_.2)(Ω_Ω),
    • (A²(zA_ω))(Ω_Ω)≡(A(A(zA_ω)))(Ω_Ω),
    • (A₁(zA_ω))(Ω_Ω)≡((A(A))(zA_ω))(Ω_Ω),
    • ((A↓^X_.1X_.2)(zA_ω))(Ω_Ω),
    • (zA₂(zA_ω))(Ω_Ω)≡((Ɐ(A))(zA_ω))(Ω_Ω),
    • (zA_ω)₁(Ω_Ω)≡(zA_ω(zA_ω))(Ω_Ω)
    • i ((zA_ω)↓^X_.1X_.2)(Ω_Ω)
    • dochodzimy do zA_ω+1(Ω_Ω)≡(Ɐ(zA_ω))(Ω_Ω) ((ω+1)-zygzak-akermańsko hiperstacjonarnych (to jest ta bardziej wyśrubowana definicja, na którą czekaliśmy)).
• Dalej, wykorzystując podobne skomplikowane kroki, powinno się dać dojść do
  • (na początek)
    • zA_ω+2(Ω_Ω)≡((A(Ɐ))(zA_ω))(Ω_Ω) ((ω+2)-zygzak-akermańsko hiperstacjonarnych),
    • zA_ω⋅2(Ω_Ω) ((ω⋅2)-zygzak-akermańsko hiperstacjonarnych, czyli (ω+n)-z.-a. h-s. dla każdego n),
    • zA_ω²(Ω_Ω) (ω²-z.-a. h-s.)
    • (ogólnie dla liczb granicznych chodzi o posiadanie własności dla wszystkich mniejszych liczb, zaś potem zaczynamy zygzak od Ɐ),
    • zA_ε0(Ω_Ω) (ε₀-z.-a. h-s.),
    • zA_εω³+3+3(Ω_Ω) ((ε_ω³+3+3)-z.-a. h-s.),
    • zA_ω1(Ω_Ω) (ω₁-z.-a. h-s.) itd.
  • Potem
    • zA_Ω(Ω_Ω) (Ω-zygzak-akermańsko hiperstacjonarne, czyli liczby κ, która są κ-zygzak-akermańsko hiperstacjonarne),
    • (po
      • (zA_Ω(Ω_Ω))²,
      • A(zA_Ω(Ω_Ω)),
      • zA_ω(zA_Ω(Ω_Ω)),
      • zA_Ω²(Ω_Ω)≡zA_Ω(zA_Ω(Ω_Ω)),
      • (A(zA_Ω))(Ω_Ω)
      • i (zA_Ω)₁(Ω_Ω)≡(zA_Ω(zA_Ω))(Ω_Ω))
      zA_Ω+1(Ω_Ω)≡(Ɐ(zA_Ω))(Ω_Ω) ((Ω+1)-zygzak-akermańsko hiperstacjonarne),
    • zA_ΩΩ(Ω_Ω)
      • (Ω_Ω-z.-a. h.-s., czyli liczby κ, która są κ-z.-a. h.-s. i są hiperstacjonarnymi granicami początkowych liczb α-z.-a. h.-s.;
      • czas zwrócić uwagę, że to analog regularności i to kolejny;
      • to chyba nie jest większe niż potrzebne, bo już zA_Ω(Ω_Ω)⋅Ω_Ω jest Ω_Ω-z.-a. h.-s. jako hiperstacjonarna granica liczb typu zA_Ω(Ω_Ω) (czyli tym bardziej zA_α(Ω_Ω) (mają wszystkie własności, jak definicja wymaga); miejmy nadzieję, że przy innej okazji przebijemy te progi);
      • ≡(zA↓↓1)(Ω_Ω) (następne to sugerują,
      • a to z kolei sugeruje (zA↓↓0)(Ω_Ω)≡Ω_Ω)),
    • (zA↓↓2)(Ω_Ω)≡zA_zAΩΩ(ΩΩ)(Ω_Ω),
    • (zA↓↓3)(Ω_Ω)≡zA_{(zA↓↓2)(ΩΩ)}(Ω_Ω)≡zA_{zAzAΩΩ(ΩΩ)(ΩΩ)}(Ω_Ω) itd.
  • Dochodzimy (ze stale rosnącym ryzykiem błędu) do
    • (zA↓↓ω)(Ω_Ω) (liczby piramido-zygzak-akermańsko hiperstacjonarnej, czyli liczby typu (zA↓↓n)(Ω_Ω) dla wszystkich naturalnych n),
    • a zaraz potem (zA↓↓(ω+1))(Ω_Ω)≡zA_{(zA↓↓ω)(ΩΩ)}(Ω_Ω) (czyli piramido-zygzak-akermańsko hiperstacjonarnej granicy liczb typu zA_α(Ω_Ω), która ma wszystkie te własności),
    • kolejnych (zA↓^X_.1X_.2)(Ω_Ω) (z krokami jak zwykle, ale zwracam uwagę, że znaczenie indeksu dolnego jest inne niż dotąd)
    • i (z(Z₁)₁)(Ω_Ω)≡Z₁(Ω_Ω)≡(Ɐ(zA))(Ω_Ω)≡(zA↓^{zA_ΩΩ(Ω_Ω)}(zA_ΩΩ(Ω_Ω)))(Ω_Ω) ((pierwszej) liczby 1-hiperzygzak-hiperstacjonarnej czyli antyakermańsko-zygzak-akermańsko hiperstacjonarnej albo 1-zygzak-1-hiperzygzak-hiperstacjonarnej – otrzymaliśmy kolejną zamkniętą strukturę zasługującą na krótki zapis, ale jest ona jednocześnie pierwszym krokiem w stronę większych struktur Z_n+1≡Ɐ(z(Z_n))).
• Ostatnie etapy mogły nie być wiele warte, więc teraz zacznijmy od podstaw:
  • (Z₁(Ω_Ω))²≡(Z₁(Ω_Ω))⋅(Z₁(Ω_Ω)) (1-hiperzygzak-hiperstacjonarna granica liczb 1-hiperzygzak-hiperstacjonarnych).
  • Dalej szybko (jak zwykle często chodzi o odpowiednie granice mające wszystkie własności):
    • (Z₁(Ω_Ω))^ω,
    • (Z₁(Ω_Ω))^ω+1≡(Z₁(Ω_Ω))^ω⋅(Z₁(Ω_Ω)),
    • (Z₁(Ω_Ω))^Ω,
    • (Z₁(Ω_Ω))^Ω_Ω,
    • (Z₁(Ω_Ω))↑↑2≡(Z₁(Ω_Ω))^Z₁(Ω_Ω),
    • (Z₁(Ω_Ω))↑^X_.1X_.2
    • i zA₁(Z₁(Ω_Ω))≡A(Z₁(Ω_Ω))≡(Z₁(Ω_Ω))↑^Z₁(Ω_Ω)(Z₁(Ω_Ω)) (1-zygzak-akermańsko 1-hiperzygzak-hiperstacjonarne, czyli po prostu akermańsko 1-hiperzygzak-hiperstacjonarne).
  • Teraz powtarzamy drogę przez
    • (A(Z₁(Ω_Ω)))²≡(A(Z₁(Ω_Ω)))⋅(A(Z₁(Ω_Ω)))
    • i A²(Z₁(Ω_Ω))≡A(A(Z₁(Ω_Ω)))≡(A(Z₁(Ω_Ω)))↑^{A(Z₁(Ω_Ω))}(A(Z₁(Ω_Ω)))
    • do A₁(Z₁(Ω_Ω))≡(A(A))(Z₁(Ω_Ω))≡(A↑^{A(Z₁(Ω_Ω))}(A(Z₁(Ω_Ω))))(Z₁(Ω_Ω)) (liczby 1-akermańsko 1-hiperzygzak-hiperstacjonarne).
  • Jeszcze jedna powtórka, tym razem drogi przez
    • (A₁(Z₁(Ω_Ω)))²≡(A₁(Z₁(Ω_Ω)))⋅(A₁(Z₁(Ω_Ω))),
    • A(A₁(Z₁(Ω_Ω)))≡(A₁(Z₁(Ω_Ω)))↑^{A₁(Z₁(Ω_Ω))}(A₁(Z₁(Ω_Ω))),
    • A²(A₁(Z₁(Ω_Ω)))≡A(A(A₁(Z₁(Ω_Ω)))),
    • A₁²(Z₁(Ω_Ω))≡A₁(A₁(Z₁(Ω_Ω)))≡(A(A))(A₁(Z₁(Ω_Ω))),
    • ((A(A₁))(Z₁(Ω_Ω))≡(A₁↑^{A₁(Z₁(Ω_Ω))}(A₁(Z₁(Ω_Ω))))(Z₁(Ω_Ω))
    • i z grubsza jeszcze raz to samo do A₂(Z₁(Ω_Ω))≡(A₁(A₁))(Z₁(Ω_Ω))≡((A(A))(A₁))(Z₁(Ω_Ω)) (2-akermańsko 1-hiperzygzak-hiperstacjonarne).
• Teraz łatwo uwierzyć, że można też zdefiniować
  • A_α(Z₁(Ω_Ω)) (α-akermańsko 1-hiperzygzak-hiperstacjonarne),
  • A_Ω(Z₁(Ω_Ω)) (Ω-akermańsko 1-hiperzygzak-hiperstacjonarne),
  • A_ΩΩ(Z₁(Ω_Ω)) (Ω_Ω-akermańsko 1-hiperzygzak-hiperstacjonarne),
  • A_Z1(ΩΩ)(Z₁(Ω_Ω)),
  • (A↓↓2)(Z₁(Ω_Ω))≡A_A(Z1(ΩΩ))(Z₁(Ω_Ω)),
  • (A↓↓↓2)(Z₁(Ω_Ω))≡(A↓↓(A(Z₁(Ω_Ω))))(Z₁(Ω_Ω))
  • i zA₂(Z₁(Ω_Ω))≡(Ɐ(A))(Z₁(Ω_Ω))≡(A↓^{A(Z₁(Ω_Ω))}(A(Z₁(Ω_Ω))))(Z₁(Ω_Ω)) (2-zygzak-akermańsko 1-hiperzygzak-hiperstacjonarne, czyli po prostu antyakermańsko 1-hiperzygzak-hiperstacjonarne),
  • a następnie
    • zA₃(Z₁(Ω_Ω))≡((A(Ɐ))(A))(Z₁(Ω_Ω)) (3-z.-a. 1-h.-z.-h-s.),
    • zA₄(Z₁(Ω_Ω))≡(((Ɐ(A))(Ɐ))(A))(Z₁(Ω_Ω)) (4-z.-a. 1-h.-z.-h-s.),
    • zA_α(Z₁(Ω_Ω)) (α-z.-a. 1-h.-z.-h-s.),
    • zA_Ω(Z₁(Ω_Ω)) (Ω-z.-a. 1-h.-z.-h-s.),
    • zA_ΩΩ(Z₁(Ω_Ω)) (Ω_Ω-z.-a. 1-h.-z.-h-s.),
    • (zA↓↓1)(Z₁(Ω_Ω))≡zA_Z1(ΩΩ)(Z₁(Ω_Ω))
  • oraz
    • (zA↓↓2)(Z₁(Ω_Ω))≡(zA_zAZ1(ΩΩ)(Z₁(Ω_Ω)))(Z₁(Ω_Ω))
    • i Z₁²(Ω_Ω)≡Z₁(Z₁(Ω_Ω))≡(Ɐ(zA))(Z₁(Ω_Ω))≡(zA↓^{zA_Z1(ΩΩ)(Z₁(Ω_Ω))}(zA_Z1(ΩΩ)(Z₁(Ω_Ω))))(Z₁(Ω_Ω)) (antyakermańsko-zygzak-akermańsko 1-hiperzygzak-hiperstacjonarna, czyli 1-hiperzygzak-1-hiperzygzak-hiperstacjonarne).
• Kontynuujemy schemat (1-hiperzygzakowatość zastępuje akermańskość prowadząc do 2-hiperzygzakowatości (która ma się do 1-hiperzygzakowatości jak 1-hiperzygzakowatość do akermańskości)). Konkretniej bierzemy (pomijając szczegóły definiowane analogicznie jak wyżej):
  • (zA₁(Z₁))(Ω_Ω)≡(A(Z₁))(Ω_Ω)≡(Z₁↑^Z₁(Ω_Ω)(Z₁(Ω_Ω)))(Ω_Ω),
  • (A₁(Z₁))(Ω_Ω)≡((A(A))(Z₁))(Ω_Ω),
  • (zA₂(Z₁))(Ω_Ω)≡((Ɐ(A))(Z₁))(Ω_Ω),
  • (zA_X(Z₁))(Ω_Ω),
  • (Z₁)₁(Ω_Ω)≡(Z₁(Z₁))(Ω_Ω)≡((Ɐ(zA))(Z₁))(Ω_Ω)≡(zA↓^Z₁(Ω_Ω)(Z₁(Ω_Ω)))(Z₁))(Ω_Ω) (zauważmy, że nawias rozdziela dwa rodzaje indeksów dolnych),
  • (Z₁)₂(Ω_Ω)≡((Z₁)₁((Z₁)₁))(Ω_Ω)
  • i (z(Z₁)₂)(Ω_Ω)≡(Ɐ(Z₁))(Ω_Ω)≡(Z₁↓^Z₁(Ω_Ω)(Z₁(Ω_Ω)))(Ω_Ω) (2-zygzak-1-hiperzygzak-hiperstacjonarne).
  • Potem
    • (z(Z₁)₃)(Ω_Ω)≡((Z₁(Ɐ))(Z₁))(Ω_Ω) (3-zygzak-1-hiperzygzak-hiperstacjonarne),
    • (z(Z₁)₄)(Ω_Ω)≡(((Ɐ(Z₁))(Ɐ))(Z₁))(Ω_Ω) (4-zygzak-1-hiperzygzak-hiperstacjonarne),
    • (z(Z₁)↓↓1)(Ω_Ω)≡(z(Z₁)_ΩΩ)(Ω_Ω),
    • (z(Z₁)↓↓2)(Ω_Ω)≡(z(Z₁)_{(z(Z1)ΩΩ)(ΩΩ)})(Ω_Ω)
    • i Z₂(Ω_Ω)≡(Ɐ(z(Z₁)))(Ω_Ω)≡(z(Z₁)↓^{z(Z₁)_ΩΩ(Ω_Ω)}(z(Z₁)_ΩΩ(Ω_Ω)))(Ω_Ω) (2-hiperzygzak-hiperstacjonarne, zgodnie z już wspomnianym planem).
  • Na koniec bierzemy (parę przykładów)
    • Z_ω(Ω_Ω) (ω-hiperzygzak-hiperstacjonarne, czyli n-hiperzygzak-hiperstacjonarne dla każdego n),
    • Z_ω+1(Ω_Ω)≡(Ɐ(z(Z_ω)))(Ω_Ω) ((ω+1)-hiperzygzak-hiperstacjonarne, czyli antyakermańsko-zygzak-ω-hiperzygzak-hiperstacjonarne),
    • Z_Ω(Ω_Ω) (Ω-hiperzygzak-hiperstacjonarne, czyli, jak zwykle, granica κ liczb α-hiperzygzak-hiperstacjonarnych dla każdego α<κ mająca wszystkie to własności),
    • (Z↓↓1)(Ω_Ω)≡Z_ΩΩ(Ω_Ω) (Ω_Ω-hiperzygzak-hiperstacjonarne, czyli odpowiednie hiperstacjonarne granice liczb α-hiperzygzak-hiperstacjonarnych),
    • (Z↓↓2)(Ω_Ω)≡Z_ZΩΩ(ΩΩ)(Ω_Ω) (odpowiednie Ω_Ω-hiperzygzak-hiperstacjonarne granice liczb α-hiperzygzak-hiperstacjonarnych),
    • (Z↓↓ω)(Ω_Ω) (piramido-hiperzygzak-hiperstacjonarne, czyli liczby typu (Z↓↓n)(Ω_Ω) dla każdego n),
    • (Z↓↓↓2)(Ω_Ω)≡(Z↓↓(Z_ΩΩ(Ω_Ω)))(Ω_Ω) (granice typu Z_ΩΩ(Ω_Ω) liczb typu (Z↓↓α)(Ω_Ω) ze szczegółami jak zwykle),
    • (Z↓↓↓3)(Ω_Ω)≡(Z↓↓((Z↓↓↓2)(Ω_Ω)))(Ω_Ω)≡(Z↓↓((Z↓↓(Z_ΩΩ(Ω_Ω)))(Ω_Ω)))(Ω_Ω) (granice typu (Z↓↓↓2)(Ω_Ω) liczb typu (Z↓↓α)(Ω_Ω) ze szczegółami jak zwykle),
    • (Z↓^ω2)(Ω_Ω) (liczby typu (Z↓ⁿ2)(Ω_Ω) dla każdego n),
    • (Z↓^ω100)(Ω_Ω) (liczby typu (Z↓ⁿ100)(Ω_Ω) dla każdego n),
    • (Z↓^ω+12)(Ω_Ω)≡(Z↓^ωZ_ΩΩ(Ω_Ω))(Ω_Ω),
    • (Z↓^ω₂9)(Ω_Ω) (liczby typu (Z↓^α9)(Ω_Ω) dla każdego α<ω₂)
    • i wreszcie Z_Ω̃(Ω_Ω)≡(Ɐ(Z))(Ω_Ω)≡(Z↓^{Z_ΩΩ(Ω_Ω)}(Z_ΩΩ(Ω_Ω)))(Ω_Ω) (antyakermańsko-hiperzygzak-hiperstacjonarne, czyli hiperhiperzygzak-hiperstacjonarne, czyli Ω̃-hiperzygzak-hiperstacjonarne, czyli granice z własnościami, których nie trzeba już chyba przypominać).
      • Z myślą o tym, do czego za jakiś czas dojdziemy, można je też określić jako liczby 1-antypiramidohiperzygzak-hiperstacjonarne (1-azet-hiperstacjonarne) ∇₁Z(Ω_Ω) (wtedy azet-hiperstacjonarne będą ω-azet-hiperstacjonarnymi i będzie można pójść dalej))
• Dalej trzeba znaleźć kroki, które pozwalają traktować Z_Ω̃ jak A.
  • Najpierw traktujemy Z_Ω̃(Ω_Ω) jak jedną całość. Tym sposobem otrzymujemy (krótka powtórka) następujące liczby:
    • (Z_Ω̃(Ω_Ω))² to hiperhiperzygzak-hiperstacjonarna granica liczb hiperhiperzygzak-hiperstacjonarnych.
    • zA₁(Z_Ω̃(Ω_Ω))≡A(Z_Ω̃(Ω_Ω))≡(Z_Ω̃(Ω_Ω))↑^{Z_Ω̃(Ω_Ω)}(Z_Ω̃(Ω_Ω)) to (pierwsza) liczba akermańsko hiperhiperzygzak-hiperstacjonarna, czyli odpowiednia hiperhiperzygzak-hiperstacjonarna granica granic.
    • zA₂(Z_Ω̃(Ω_Ω))≡(Ɐ(A))(Z_Ω̃(Ω_Ω))≡(A↓^{A(Z_Ω̃(Ω_Ω))}A(Z_Ω̃(Ω_Ω)))(Z_Ω̃(Ω_Ω)) to liczba antyakermańsko hiperhiperzygzak-hiperstacjonarna.
    • Z₁(Z_Ω̃(Ω_Ω))≡(Ɐ(zA))(Z_Ω̃(Ω_Ω))≡(zA↓^{zA_ZΩ̃(ΩΩ)(Z_Ω̃(Ω_Ω))}(zA_ZΩ̃(ΩΩ)(Z_Ω̃(Ω_Ω))))(Z_Ω̃(Ω_Ω)) to (pierwsza) liczba 1-hiperzygzak-hiperhiperzygzak-hiperstacjonarna, czyli antyakermańsko-zygzak-akermańsko hiperhiperzygzak-hiperstacjonarna.
    • Z₂(Z_Ω̃(Ω_Ω))≡(Ɐ(z(Z₁)))(Z_Ω̃(Ω_Ω))≡(z(Z₁)↓^{z(Z₁)_ZΩ̃(ΩΩ)(Z_Ω̃(Ω_Ω))}(z(Z₁)_ZΩ̃(ΩΩ)Z_Ω̃(Ω_Ω))))(Z_Ω̃(Ω_Ω)) to (pierwsza) 2-hiperzygzak-hiperhiperzygzak-hiperstacjonarna.
    • I wreszcie Z_Ω̃²(Ω_Ω)≡Z_Ω̃(Z_Ω̃(Ω_Ω))≡(Ɐ(Z))(Z_Ω̃(Ω_Ω))≡(Z↓^{Z_ZΩ̃(ΩΩ)(Z_Ω̃(Ω_Ω))}(Z_ZΩ̃(ΩΩ)(Z_Ω̃(Ω_Ω))))(Z_Ω̃(Ω_Ω)) to antyakermańsko-hiperzygzak-hiperhiperzygzak-hiperstacjonarne, czyli hiperhiperzygzak-hiperhiperzygzak-hiperstacjonarne.
  • Szybko możemy dojść do
    • (Z_Ω̃↑↑2)(Ω_Ω)≡(Z_Ω̃^{Z_Ω̃(Ω_Ω)})(Ω_Ω),
    • (Z_Ω̃↑↑↑2)(Ω_Ω)≡((Z_Ω̃)↑↑(Z_Ω̃(Ω_Ω)))(Ω_Ω)
    • i (A(Z_Ω̃))(Ω_Ω)≡((Z_Ω̃)↑^{Z_Ω̃(Ω_Ω)}(Z_Ω̃(Ω_Ω)))(Ω_Ω),
    • a następnie na poważnie zacząć następny etap.
    • Powtarzając ostatnie kroki otrzymujemy (A²(Z_Ω̃))(Ω_Ω)≡(A(A(Z_Ω̃)))(Ω_Ω)≡((A(Z_Ω̃))↑^{(A(Z_Ω̃))(Ω_Ω)}((A(Z_Ω̃))(Ω_Ω)))(Ω_Ω)
    • i (A₂(Z_Ω̃))(Ω_Ω)≡((A(A))(Z_Ω̃))(Ω_Ω)≡((A↑^{Z_Ω̃(Ω_Ω)}(Z_Ω̃(Ω_Ω)))(Z_Ω̃))(Ω_Ω)
    • a wkrótce potem (zA₂(Z_Ω̃))(Ω_Ω)≡((Ɐ(A))(Z_Ω̃))(Ω_Ω)≡(A↓^{(A(Z_Ω̃))(Ω_Ω)}((A(Z_Ω̃))(Ω_Ω)))(Z_Ω̃))(Ω_Ω).
    • Kontynuując zabawę jak zwykle, dostajemy, po np. (zA₄(Z_Ω̃))(Ω_Ω)≡((((Ɐ(A))(Ɐ))(A))(Z_Ω̃))(Ω_Ω)≡((((A↓^{(((A(Ɐ))(A))(Z_Ω̃))(Ω_Ω)}((((A(Ɐ))(A))(Z_Ω̃))(Ω_Ω)))(Ɐ))(A))(Z_Ω̃))(Ω_Ω),
    • (zA_ω(Z_Ω̃))(Ω_Ω), czyli pierwszą granicę liczb typu (zA_n(Z_Ω̃))(Ω_Ω), która ma wszystkie te własności,
    • (zA_Ω(Z_Ω̃))(Ω_Ω), czyli α=(zA_α(Z_Ω̃))(Ω_Ω),
    • (zA_ΩΩ(Z_Ω̃))(Ω_Ω), czyli hiperstacjonarną granicę liczb tego rodzaju,
    • ((zA↓↓1)(Z_Ω̃))(Ω_Ω)≡(zA_ZΩ̃(ΩΩ)(Z_Ω̃))(Ω_Ω), czyli hiperhiperzygzak-hiperstacjonarną granicę liczb tego rodzaju,
    • ((zA↓↓2)(Z_Ω̃))(Ω_Ω)≡(zA_{((zA↓↓1)(ZΩ̃))(ΩΩ)}(Z_Ω̃))(Ω_Ω)≡(zA_{(zAZΩ̃(ΩΩ)(ZΩ̃))(ΩΩ)}(Z_Ω̃))(Ω_Ω), czyli granicę typu ((zA↓↓1)(Z_Ω̃))(Ω_Ω) liczb tego rodzaju (to kolejny bardziej niejasny krok),
    • i (miejmy nadzieję – to w sumie dosyć twórczy krok; po paru krokach podobnych do przedostatniego i ostatniego) (Z₁(Z_Ω̃))(Ω_Ω)≡((Ɐ(zA))(Z_Ω̃))(Ω_Ω)≡((zA↓^{((zA↓↓1)(Z_Ω̃))(Ω_Ω)}(((zA↓↓1)(Z_Ω̃))(Ω_Ω)))(Z_Ω̃))(Ω_Ω).
    • Potem mamy
      • ((z(Z₁)↓↓1)(Z_Ω̃))(Ω_Ω)≡((z(Z₁)_ZΩ̃(ΩΩ))(Z_Ω̃))(Ω_Ω) (z grubsza drugie wykorzystanie ostatniego bardziej twórczego pomysłu)
      • i (Z₂(Z_Ω̃))(Ω_Ω)≡((Ɐ(z(Z₁)))(Z_Ω̃))(Ω_Ω)≡((z(Z₁)↓^{((z(Z₁)↓↓1)(Z_Ω̃))(Ω_Ω)}(((z(Z₁)↓↓1)(Z_Ω̃))(Ω_Ω)))(Z_Ω̃))(Ω_Ω)
      • oraz (Z_Ω(Z_Ω̃))(Ω_Ω) (granicę liczb typu (Z_α(Z_Ω̃))(Ω_Ω) (mającą te własności – jak i w kolejnych przypadkach)),
      • (Z_ΩΩ(Z_Ω̃))(Ω_Ω) (hiperstacjonarną granicę liczb typu (Z_α(Z_Ω̃))(Ω_Ω)),
      • ((Z↓↓1)(Z_Ω̃))(Ω_Ω)≡(Z_ZΩ̃(ΩΩ)(Z_Ω̃))(Ω_Ω) (hiperhiperzygzak-hiperstacjonarną granicę liczb typu (Z_α(Z_Ω̃))(Ω_Ω); trzecie wykorzystanie pomysłu)
      • i (Z_Ω̃)₁(Ω_Ω)≡(Z_Ω̃(Z_Ω̃))(Ω_Ω)≡((Ɐ(Z))(Z_Ω̃))(Ω_Ω)≡((Z↓^{((Z↓↓1)(Z_Ω̃))(Ω_Ω)}(((Z↓↓1)(Z_Ω̃))(Ω_Ω)))(Z_Ω̃))(Ω_Ω).
    • Miejmy nadzieję, że następne parę etapów można załatwić wspominając tylko o pierwszych krokach. Tak kończymy drogę przewidzianą na cały ten punkt:
      • z(Z_Ω̃)₂(Ω_Ω)≡(Ɐ(Z_Ω̃))(Ω_Ω)≡((Z_Ω̃)↓^{Z_Ω̃(Ω_Ω)}(Z_Ω̃(Ω_Ω)))(Ω_Ω) to (pierwsza) liczba 2-zygzak-hiperhiperzygzak-hiperstacjonarna,
      • a Z_Ω̃+1(Ω_Ω)≡(Ɐ(z(Z_Ω̃)))(Ω_Ω)≡(z(Z_Ω̃)↓^{z(Z_Ω̃)_ΩΩ(Ω_Ω)}(z(Z_Ω̃)_ΩΩ(Ω_Ω)))(Ω_Ω) to (pierwsza) liczba (Ω̃+1)-hiperzygzak-hiperstacjonarna.
• Następny punkt zaczynamy równie szybko (zwróćmy tylko uwagę, że kropka oznacza zmienną, oznacza też mnożenie, ale nie ma z tym kłopotów, nawet jeśli kropki o różnych znaczeniach bezpośrednio sąsiadują – wtedy kropki można by w sumie nawet pominąć (i to nieważne, które), bo „omega tylda razy coś” to „omega tylda razy” albo i „omega tylda cosiów”):
  • Z_Ω̃⋅2(Ω_Ω)≡(Ɐ(Z_Ω̃+⋅))(Ω_Ω) to (pierwsza) liczba (Ω̃⋅2)-hiperzygzak-hiperstacjonarna,
  • Z_Ω̃²(Ω_Ω)≡(Ɐ(Z_Ω̃⋅⋅))(Ω_Ω) to (pierwsza) liczba Ω̃²-hiperzygzak-hiperstacjonarna,
  • a następnie pojawia się Z_Ω̃↑↑2(Ω_Ω)≡Z_Ω̃^Ω̃(Ω_Ω)≡(Ɐ(Z_Ω̃^⋅))(Ω_Ω)≡((Z_Ω̃^⋅)↓^{Z_Ω̃ΩΩ(Ω_Ω)}(Z_Ω̃^ΩΩ(Ω_Ω)))(Ω_Ω)
  • i (po
    • Z_Ω̃^Ω̃+1(Ω_Ω)≡Z_{Ω̃^Ω̃⋅Ω̃}(Ω_Ω)≡(Ɐ(Z_{Ω̃^Ω̃⋅⋅}))(Ω_Ω)≡((Z_{Ω̃^Ω̃⋅⋅})↓^{Z_{Ω̃Ω̃⋅ΩΩ}(Ω_Ω)}(Z_{Ω̃^Ω̃⋅ΩΩ}(Ω_Ω)))(Ω_Ω),
    • Z_{Ω̃^Ω̃⋅2}(Ω_Ω)≡(Ɐ(Z_{Ω̃^Ω̃+⋅}))(Ω_Ω),
    • i Z_Ω̃^Ω̃2(Ω_Ω)≡(Ɐ(Z_{Ω̃^Ω̃⋅⋅}))(Ω_Ω))
  • Z_Ω̃↑↑3(Ω_Ω)≡Z_{Ω̃^Ω̃Ω̃}(Ω_Ω)≡(Ɐ(Z_Ω̃^Ω̃⋅))(Ω_Ω)≡((Z_Ω̃^Ω̃⋅)↓^{Z_Ω̃Ω̃ΩΩ(Ω_Ω)}(Z_{Ω̃^Ω̃ΩΩ}(Ω_Ω)))(Ω_Ω).
  • Nie jest chyba wiele trudniej aż do następnej akermańskości (czyli początku zygzakowatości): Z_zA1(Ω̃)(Ω_Ω)≡Z_A(Ω̃)(Ω_Ω)≡Z_{Ω̃↑^Ω̃Ω̃}(Ω_Ω)≡(Ɐ(Z_{Ω̃↑^⋅Ω̃}))(Ω_Ω)≡((Z_{Ω̃↑^⋅Ω̃})↓^{(Z_{Ω̃↑ΩΩΩ̃})(Ω_Ω)}((Z_{Ω̃↑^ΩΩΩ̃})(Ω_Ω)))(Ω_Ω)≡((Z_{Ω̃↑^⋅Ω̃})↓^{(Z_{Ω̃↑ΩΩΩ̃})(Ω_Ω)}((Z_{Ω̃↑^ΩΩΩ̃})(Ω_Ω)))(Ω_Ω),
  • ale potem trzeba pomyśleć choćby o
    • Z_{(A(Ω̃))↑^Ω̃+1(A(Ω̃))}(Ω_Ω)≡Z_{(A(Ω̃))↑^Ω̃(A(Ω̃)↑^Ω̃(A(Ω̃)↑^Ω̃...↑^Ω̃(A(Ω̃))}(Ω_Ω) (z łączeniem do prawej; granica typu A(Ω̃) liczby tych odcinków; praktycznie na samym początku trzeba dojść do granicy pierwszej ω i ją minąć jak zwykle; konkretniej
      • Z_{(A(Ω̃))↑^Ω̃+11}(Ω_Ω)≡Z_A(Ω̃)(Ω_Ω) (↑^X1 nic nie zmienia),
      • Z_{(A(Ω̃))↑^Ω̃+12}(Ω_Ω)≡Z_{(A(Ω̃))↑^Ω̃(A(Ω̃))}(Ω_Ω),
      • Z_{(A(Ω̃))↑^Ω̃+13}(Ω_Ω)≡Z_{(A(Ω̃))↑^Ω̃((A(Ω̃))↑^Ω̃+12)}(Ω_Ω),
      • Z_{(A(Ω̃))↑^Ω̃+1ω}(Ω_Ω) (czyli liczba typu Z_{(A(Ω̃))↑^Ω̃+1n}(Ω_Ω) dla każdego naturalnego n),
      • Z_{(A(Ω̃))↑^Ω̃+1(ω+1)}(Ω_Ω)≡Z_{((A(Ω̃))↑^Ω̃+1ω)↑^Ω̃(A(Ω̃))}(Ω_Ω) (jak zwykle bezpośrednio po granicy trzeba odwrócić kolejność),
      • Z_{(A(Ω̃))↑^Ω̃+1(ω+2)}(Ω_Ω)≡Z_{A(Ω̃))↑^Ω̃((A(Ω̃))↑^Ω̃+1(ω+1))}(Ω_Ω),
      • Z_{(A(Ω̃))↑^Ω̃+1Ω}(Ω_Ω) (czyli granica mająca wszystkie odpowiednie własności)
      • itp.)
    • Z_{(A(Ω̃))↑^Ω̃⋅2(A(Ω̃))}(Ω_Ω)≡(Ɐ(Z_{(A(Ω̃))↑^Ω̃+⋅(A(Ω̃))}))(Ω_Ω)≡((Z_{(A(Ω̃))↑^Ω̃+⋅(A(Ω̃))})↓^{(Z_{(A(Ω̃))↑Ω̃+ΩΩ(A(Ω̃))})(Ω_Ω)}((Z_{(A(Ω̃))↑^Ω̃+ΩΩ(A(Ω̃))}))(Ω_Ω))(Ω_Ω) (zwróćmy uwagę na kroki
      • (Z_{(A(Ω̃))↑^Ω̃+⋅(A(Ω̃))})_α(Ω_Ω)≡(Z_{(A(Ω̃))↑^Ω̃+α(A(Ω̃))})(Ω_Ω) (to raczej przypomnienie wyjaśnienia),
      • ((Z_{(A(Ω̃))↑^Ω̃+⋅(A(Ω̃))})↓↓2)(Ω_Ω)≡(Z_{(A(Ω̃))↑^Ω̃+⋅(A(Ω̃))})_{(Z(A(Ω̃))↑^Ω̃+ΩΩ(A(Ω̃)))(ΩΩ)}(Ω_Ω) (tutaj podstawienie groziłoby konfliktem oznaczeń; chodzi o granicę typu (Z_{(A(Ω̃))↑^Ω̃+ΩΩ(A(Ω̃))})(Ω_Ω) liczb typu Z_{(A(Ω̃))↑^Ω̃+α(A(Ω̃))}(Ω_Ω) mającą wszystkie te własności – warto pamiętać, że krokami tego rodzaju załatwiamy antyakermańskość w stylu (Ɐ(Z_{(A(Ω̃))↑^Ω̃+⋅(A(Ω̃))}))(Ω_Ω), do której sprowadza się Ω̃ (np. tu wspomniane w bezpośrednio nadrzędnym podpunkcie (Z_{(A(Ω̃))↑^Ω̃+Ω̃(A(Ω̃))})(Ω_Ω)))≡(Z_{(A(Ω̃))↑^Ω̃⋅2(A(Ω̃))})(Ω_Ω)))
      • i ((Z_{(A(Ω̃))↑^Ω̃+⋅(A(Ω̃))})↓↓↓2)(Ω_Ω)≡((Z_{(A(Ω̃))↑^Ω̃+⋅(A(Ω̃))})↓↓((Z_{(A(Ω̃))↑^Ω̃+ΩΩ(A(Ω̃))})(Ω_Ω)))(Ω_Ω),
      • reszta nie jest zbyt zaskakująca),
    • Z_{(A(Ω̃))↑^Ω̃2(A(Ω̃))}(Ω_Ω)≡Z_{(A(Ω̃))↑^Ω̃⋅Ω̃(A(Ω̃))}(Ω_Ω)≡(Ɐ(Z_{(A(Ω̃))↑^Ω̃⋅⋅(A(Ω̃))}))(Ω_Ω),
    • Z_{(A(Ω̃))↑^Ω̃↑↑2(A(Ω̃))}(Ω_Ω)≡Z_{(A(Ω̃))↑^Ω̃Ω̃(A(Ω̃))}(Ω_Ω)≡(Ɐ(Z_{(A(Ω̃))↑^Ω̃⋅(A(Ω̃))}))(Ω_Ω)
    • i Z_{(A(Ω̃))↑^Ω̃↑2Ω̃(A(Ω̃))}(Ω_Ω)≡Z_{(A(Ω̃))↑^{Ω̃↑↑Ω̃}(A(Ω̃))}(Ω_Ω)≡(Ɐ(Z_{(A(Ω̃))↑^{Ω̃↑↑⋅}(A(Ω̃))}))(Ω_Ω),
  • żeby dojść chociaż do Z_A²(Ω̃)(Ω_Ω)≡Z_A(A(Ω̃))(Ω_Ω)≡Z_{(A(Ω̃))↑^A(Ω̃)(A(Ω̃))}(Ω_Ω)≡Z_{(A(Ω̃))↑^{Ω̃↑Ω̃Ω̃}(A(Ω̃))}(Ω_Ω)≡(Ɐ(Z_{(A(Ω̃))↑^{Ω̃↑⋅Ω̃}(A(Ω̃))}))(Ω_Ω).
  • Teraz już łatwiej pomyśleć (zakładając, że inne problemy też rozwiążemy prostą analogią) o Z_A1(Ω̃)(Ω_Ω)≡Z_(A(A))(Ω̃)(Ω_Ω)≡Z_{(A↑^A(Ω̃)(A(Ω̃)))(Ω̃)}(Ω_Ω)≡Z_{(A↑^{Ω̃↑Ω̃Ω̃}(A(Ω̃)))(Ω̃)}(Ω_Ω)≡(Ɐ(Z_{(A↑^{Ω̃↑⋅Ω̃}(A(Ω̃)))(Ω̃)}))(Ω_Ω),
  • czyli kluczowym kroku przed antyakermańskością (drugim etapem zygzakowatości) Z_zA2(Ω̃)(Ω_Ω)≡Z_{(Ɐ(A))(Ω̃)}(Ω_Ω)≡Z_{(A↓^A(Ω̃)(A(Ω̃)))(Ω̃)}(Ω_Ω) (A(Ω̃) traktujemy całkiem analogicznie jak w poprzednim przykładzie).
  • Resztę zygzakowatości otrzymujemy podobnie jak zawsze (pomijam to – miejmy nadzieję, że problemy się nie kryją i byłoby to po prostu długie przypomnienie starych pomysłów, które da się też zrobić samodzielnie).
  • Potem stosujemy odwróconą ternację itd., aż dojdziemy do antyakermańskości, czyli hiperzygzakowatości: Z_Z1(Ω̃)(Ω_Ω)≡Z_{(Ɐ(zA))(Ω̃)}(Ω_Ω)≡Z_{(zA↓^zAΩ̃(Ω̃)(zAΩ̃(Ω̃)))(Ω̃)}(Ω_Ω)≡(Ɐ(Z_{(zA↓^zA⋅(Ω̃)(zAΩ̃(Ω̃)))(Ω̃)}))(Ω_Ω).
  • Jeszcze raz, na większą skalę (która wymagałaby kolejnych rozpisek, które już pominę), powtarzamy zygzakowatość i traktowanie jej odwróconymi hiperoperacjami i antyakermańskością, aby dojść do Z_Z1(Ω̃)+1(Ω_Ω)≡(Ɐ(z(Z_Z1(Ω̃))))(Ω_Ω).
  • Po dodaniu jednego łatwo dodać α, a potem stosować odpowiednie granice, które doprowadzą do odwróconej tetracji, a po kolejnym przejściu od α do Ω do odwróconej pentacji. Postępując podobnie dalej dotrzemy do Z_{Z1(Ω̃)+Ω̃}(Ω_Ω)≡(Ɐ(Z_Z1(Ω̃)+⋅)(Ω_Ω).
  • Powtarzanie tego, co przypominaliśmy sobie już niedawno, powinno doprowadzić do Z_Z1(Ω̃)⋅2(Ω_Ω)≡Z_{Z1(Ω̃)+(Ɐ(zA))(Ω̃)}(Ω_Ω)≡Z_{Z1(Ω̃)+(zA↓^zAΩ̃(Ω̃)(zAΩ̃(Ω̃)))(Ω̃)}(Ω_Ω)≡(Ɐ(Z_{Z1(Ω̃)+(zA↓^zA⋅(Ω̃)(zAΩ̃(Ω̃)))(Ω̃)}))(Ω_Ω).
  • To doprowadzi przez Z_Z2(Ω̃)(Ω_Ω)≡Z_{(Ɐ(z(Z1)))(Ω̃)}(Ω_Ω) i wiele podobnych kroków (przechodzimy
    • do α (czyli Z_Zα(Ω̃)(Ω_Ω)),
    • do granic (np. (Z_ZΩ7(Ω̃)(Ω_Ω))),
    • tetracji (Z_{(Z↓↓α)(Ω̃)}(Ω_Ω)),
    • pentacji (Z_{(Z↓↓↓α)(Ω̃)}(Ω_Ω))
    itd. (tym razem w indeksie hiperzygzakowatości przy Ω̃ w indeksie nadrzędnej hiperzygzakowatości))
  • do liczb 2-azet-hiperstacjonarnych ∇₂Z(Ω_Ω)≡Z_ZΩ̃(Ω̃)(Ω_Ω)≡(Ɐ(Z_Z⋅(Ω̃)))(Ω_Ω),
  • potem (liczby 3-azet-hiperstacjonarne; zbieramy hiperzygzakowatości w indeksie hiperzygzakowatości) ∇₃Z(Ω_Ω)≡Z_{ZZΩ̃(Ω̃)(Ω̃)}(Ω_Ω) i tak dalej,
  • na początek ω razy (do liczb (ω-)antypiramidohiperhiperzygzak-hiperstacjonarnych ((ω-)azet-hiperstacjonarnych) ∇Z(Ω_Ω)≡∇_ωZ(Ω_Ω)), jeśli naprawdę wszystkie kroki mają sens.
• Teraz trzeba zacząć prawie od nowa ...... (I MOŻE POWTÓRZYĆ TO, CO OSTATNIO POMINĘLIŚMY) ...... (chociaż na początek znaczenie jest oczywiste):
  • (∇Z(Ω_Ω))² to azet-hiperstacjonarna granica liczb azet-hiperstacjonarnych.
  • Potem: (∇Z(Ω_Ω))ⁿ,
  • (∇Z(Ω_Ω))^ω,
  • (∇Z(Ω_Ω))^α,
  • (∇Z(Ω_Ω))^Ω,
  • (∇Z(Ω_Ω))↑↑2≡(∇Z(Ω_Ω))^∇Z(Ω_Ω),
  • (∇Z(Ω_Ω))↑↑ω (liczba piramidalnie azet-hiperstacjonarna, przy czym ta nazwa (podobnie jak podobne, które wkrótce nadejdą) nie oznacza dużego postępu, ale jednak się narzuca (...... PRZYDADZĄ SIĘ NAZWY DLA PODOBNYCH, ALE WIĘKSZYCH LICZB......)......),
  • (∇Z(Ω_Ω))↑↑↑3≡(∇Z(Ω_Ω))↑↑((∇Z(Ω_Ω))↑↑(∇Z(Ω_Ω))),
  • A(∇Z(Ω_Ω))≡(∇Z(Ω_Ω))↑^∇Z(Ω_Ω)(∇Z(Ω_Ω)) (liczba akermańsko azet-hiperstacjonarna ......),
  • A²(∇Z(Ω_Ω))≡(A(∇Z(Ω_Ω)))↑^{A(∇Z(Ω_Ω))}(A(∇Z(Ω_Ω))) (liczba akermańsko akermańsko azet-hiperstacjonarna ......),
  • A₁(∇Z(Ω_Ω))≡(A(A))(∇Z(Ω_Ω))≡(A↑^{A(∇Z(Ω_Ω))}(A(∇Z(Ω_Ω))))(∇Z(Ω_Ω)) (liczba 1-akermańsko azet-hiperstacjonarna ......),
  • (A↓↓2)(∇Z(Ω_Ω))≡A_{A(∇Z(ΩΩ))}(∇Z(Ω_Ω)) (czyli akermańsko azet-hiperstacjonarna granica κ liczb typu A_α(∇Z(Ω_Ω)) (α-akermańsko azet-hiperstacjonarnych) mająca wszystkie te własności (dla każdego α<κ)) ......,
  • (A↓↓ω)(∇Z(Ω_Ω)) (czyli granica liczb typu (A↓↓n)(∇Z(Ω_Ω)) dla każdego naturalnego n mająca wszystkie te własności) ......,
  • (A↓↓Ω)(∇Z(Ω_Ω)) (czyli granica liczb typu (A↓↓α)(∇Z(Ω_Ω)) dla wszystkich α mniejszych od tej liczby m.w.t.w.) ......,
  • (A↓↓↓2)(∇Z(Ω_Ω))≡(A↓↓(A(∇Z(Ω_Ω))))(∇Z(Ω_Ω)) (czyli akermańsko azet-hiperstacjonarna granica liczb typu (A↓↓α)(∇Z(Ω_Ω)) dla wszystkich α mniejszych od tej liczby (...... że dla wszystkich α, może być oczywiste ......)) ......,
  • zA₂(∇Z(Ω_Ω))≡(Ɐ(A))(∇Z(Ω_Ω))≡(A↓^{A(∇Z(Ω_Ω))}(A(∇Z(Ω_Ω))))(∇Z(Ω_Ω)) (liczba 2-zygzak-akermańsko azet-hiperstacjonarna czyli antyakermańsko azet-hiperstacjonarna ......),
  • (zygzak-akermańskość to skomplikowana sprawa, ale wszystko jednak da się załatwić) zA_ω(∇Z(Ω_Ω)) (liczba ω-zygzak-akermańsko azet-hiperstacjonarna ......, czyli liczba typu zA_n(∇Z(Ω_Ω)) dla każdego n),
  • (zA_ω)²(∇Z(Ω_Ω))≡zA_ω(zA_ω(∇Z(Ω_Ω))),
  • (zA_ω)₁(∇Z(Ω_Ω))≡(zA_ω(zA_ω))(∇Z(Ω_Ω)),
  • zA_ω+1(∇Z(Ω_Ω))≡(Ɐ(zA_ω))(∇Z(Ω_Ω))≡((zA_ω)↓^{zA_ω(∇Z(Ω_Ω))}zA_ω(∇Z(Ω_Ω)))(∇Z(Ω_Ω)) (liczba (ω+1)-zygzak-akermańsko azet-hiperstacjonarna ......),
  • (Ɐ²(zA_ω))(∇Z(Ω_Ω))≡(Ɐ(Ɐ(zA_ω)))(∇Z(Ω_Ω))≡(Ɐ(zA_ω+1))(∇Z(Ω_Ω))≡((zA_ω+1)↓^{zA_ω+1(∇Z(Ω_Ω))}zA_ω+1(∇Z(Ω_Ω)))(∇Z(Ω_Ω)),
  • zA_ω+2(∇Z(Ω_Ω))≡((A(Ɐ))(zA_ω))(∇Z(Ω_Ω))≡((Ɐ↑^{(Ɐ(zA_ω))(∇Z(Ω_Ω))}(Ɐ(zA_ω))(∇Z(Ω_Ω))))(zA_ω))(∇Z(Ω_Ω)) (liczba (ω+2)-zygzak-akermańsko azet-hiperstacjonarna ......),
  • ...... (zA↓↓1)(∇Z(Ω_Ω))≡zA_∇Z(ΩΩ)(∇Z(Ω_Ω)) ......,
  • ...... (zA↓↓2)(∇Z(Ω_Ω))≡zA_{zA∇Z(ΩΩ)(∇Z(ΩΩ))}(∇Z(Ω_Ω)) ......,
  • ...... Z₁(∇Z(Ω_Ω))≡(Ɐ(zA))(∇Z(Ω_Ω))≡(zA↓^{zA_∇Z(ΩΩ)(∇Z(Ω_Ω))}(zA_∇Z(ΩΩ)(Ω_Ω)))(∇Z(Ω_Ω)) (liczba hiperzygzak-azet-hiperstacjonarna ......),
  • ......
  • ...... (z(Z₁)_ω)(∇Z(Ω_Ω))≡......,
  • ......
  • ...... Z₂(∇Z(Ω_Ω))≡...... (liczba 2-hiperzygzak-azet-hiperstacjonarna ......),
  • ...... Z_Ω̃(∇Z(Ω_Ω))≡(Ɐ(Z))(∇Z(Ω_Ω))≡(Ɐ(zA))(∇Z(Ω_Ω))≡(zA↓^{zA_∇Z(ΩΩ)(∇Z(Ω_Ω))}(zA_∇Z(ΩΩ)(Ω_Ω)))(∇Z(Ω_Ω)) (liczba hiperhiperzygzak-azet-hiperstacjonarna ......),
  • ......
  • ...... ∇Z²(Ω_Ω)≡∇Z(∇Z(Ω_Ω)) (liczba azet-azet-hiperstacjonarna ......),
  • ...... (A(∇Z))(Ω_Ω)≡(∇Z↑^∇Z(Ω_Ω))(∇Z(Ω_Ω))))(Ω_Ω) (liczba (akermańsko azet)-hiperstacjonarna ......),
• ...... Wygląda, że ∇Z(Ω_Ω)=Z_∇Z(Ω̃)(Ω_Ω) ???, ale doszliśmy......dochodzimy......dojdziemy do∇_ω+1Z(Ω_Ω)≡Z_∇Z(Ω̃)+1(Ω_Ω) (nie da się zrobić nic innego, więc po granicy dodajemy 1) i łatwo będzie pójść dalej. ......
  • (...... Ogólniej: ∇Z(X)=Z_∇Z(Ω̃)(X) ???......)
  • Dalej jest (chyba ......) Z_∇Z(Ω̃)+2(Ω_Ω) itd.,
  • przez Z_{∇Z(∇Z(Ω̃))}(Ω_Ω),
  • do ∇_ω+2Z(Ω_Ω)≡Z_{∇ω+1Z(Ω̃)}(Ω_Ω)≡Z_{Z∇Z(Ω̃)+1(Ω̃)}(Ω_Ω)
  • ......
  • ∇_ΩZ(Ω_Ω) ......
  • ∇_ΩΩZ(Ω_Ω) ......
  • ∇_ΩΩ²Z(Ω_Ω) ......
  • ((∇↓↓2)Z)(Ω_Ω)≡∇_{∇ΩΩZ(ΩΩ)}Z(Ω_Ω) ......
  • ......
  • ((∇↓↓ω)Z)(Ω_Ω), potem znowu trzeba pomyśleć ......
  • ((∇↓↓(ω+1))Z)(Ω_Ω) to chyba ...... po prostu ∇_{((∇↓↓ω)Z)(ΩΩ)+1}Z(Ω_Ω)
    • (prościej się nie da, bo ∇_{((∇↓↓ω)Z)(ΩΩ)}Z(Ω_Ω)=((∇↓↓ω)Z)(Ω_Ω) ......)
  • ......
  • ∇_Ω̃Z(Ω_Ω)≡((Ɐ(∇))Z)(Ω_Ω) ???......
  • i kontynuujemy
    • ∇_Ω̃+1Z(Ω_Ω)≡Z_{∇Ω̃Z(Ω̃)+1}(Ω_Ω), ......
    • ......
    • ∇_Ω̃⋅2Z(Ω_Ω)≡((Ɐ(∇_Ω̃+⋅))Z)(Ω_Ω)≡(((∇_Ω̃+⋅)↓^{((∇_Ω̃+⋅)_{∇Ω̃Z(ΩΩ)}Z)(Ω_Ω)}(((∇_Ω̃+⋅)_{∇Ω̃Z(ΩΩ)}Z)(Ω_Ω)))Z)(Ω_Ω), ......
    • ......
    • akermańskość...... ∇_zA1(Ω̃)Z(Ω_Ω)≡∇_A(Ω̃)Z(Ω_Ω), ......
    • antyakermańskość...... ∇_zA2(Ω̃)Z(Ω_Ω)≡∇_{(Ɐ(A))(Ω̃)}Z(Ω_Ω), ......
    • zygzak-akermańskość...... ∇_zAω(Ω̃)Z(Ω_Ω), ......
    • ......
    • początek wyższego poziomu antypiramidalności...... ((∇₂∇)Z)(Ω_Ω)≡∇_{∇Ω̃Z(Ω̃)}Z(Ω_Ω) ......
    • ((∇₃∇)Z)(Ω_Ω)≡∇_{∇∇Ω̃Z(Ω̃)Z(Ω̃)}Z(Ω_Ω) ......
    • i pełna antypiramidalna antypiramidalność ? podwójna piramidalność (naprawdę? wydaje się już jasne, co to oznacza, ale jak ją nazwać?)...... ∇²Z(Ω_Ω)≡∇∇Z(Ω_Ω)≡((∇_ω∇)Z)(Ω_Ω) ??? ......
• ......
• To sugeruje ∇ⁿZ(Ω_Ω) ......
  • Porządkowa, która ma wszystkie te własności dla naturalnych n to ∇^ωZ(Ω_Ω)
  • Jeśli dojdziemy do ∇^ω+1Z(Ω_Ω) (ALE JAK??? czy to może się udać ......),
  • ......
  • to nie powinno być problemu z ((∇↑↑2)(Z))(Ω_Ω)≡∇^∇Z(Ω_Ω)Z(Ω_Ω),......
  • ((∇↑↑ω)(Z))(Ω_Ω) (piramidalna antypiramidalność? ......)......
  • ......
  • i ∇^Ω̃Z(Ω_Ω) ??? ≡((A(∇))(Z))(Ω_Ω)≡((∇↑^∇Z(Ω_Ω)(∇Z(Ω_Ω)))(Z))(Ω_Ω) ??? (hiperantypiramidalność ...... ? albo ...... prawdziwa akermańska antypiramidalność ......) ......
  • ......
• ......

• Ω̃≡Ω_Ω̃ pozwoli iść przez Ω_Ω̃+1 dużo dalej...
• Podsumowanie funkcji, w tym funkcji działających na funkcje (pomijając np. granice; kropka przed indeksem dolnym oznacza, że jest on częścią nazwy, a nie jakimś operatorem):
  • Hiperoperacje (też od funkcji):
    • X_.1↑^X_.2+1(X_.3+1)≡(X_.1↑^X_.2+1X_.3)↑^X_.2X_.1 (bezpośrednio po granicy)
    • X_.1↑^X_.2+1(X_.3+1)≡X_.1↑^X_.2(X_.1↑^X_.2+1X_.3) (dalej od granicy)
    • (F↑^X_.2+1(X_.3+1))(X_.1)≡((F↑^X_.2+1X_.3)↑^X_.2(F(X_.1)))(X_.1) (bezpośrednio po granicy)
    • (F↑^X_.2+1(X_.3+1))(X_.1)≡(F↑^X_.2((F↑^X_.2+1X_.3)(X_.1)))(X_.1) (dalej od granicy)
  • Akermańskość (też od funkcji):
    • A(X)≡X↑^XX
    • (A(F))(X)≡(F↑^F(X)(F(X)))(X)
  • Odwrócone hiperoperacje (F_X≡F↓X) i antyakermańskość:
    • F₀≡F (jak w paru innych miejscach, pomijam argument)
    • F_X.1+1(X_.2)≡(F_X.1(F_X.1))(X_.2)
    • (F↓^X_.2+1(X_.3+1))(X_.1)≡((F↓^X_.2+1X_.3)↓^X_.2(F(X_.1)))(X_.1) (bezpośrednio po granicy)
    • (F↓^X_.2+1(X_.3+1))(X_.1)≡(F↓^X_.2((F↓^X_.2+1X_.3)(X_.1)))(X_.1) (dalej od granicy)
    • (Ɐ(F))(X)≡(F↓^F(X)(F(X)))(X)
  • Zygzakowatość:
    • zF₀ to identyczność
    • zF₁≡F
    • zF'₁≡Ɐ (to abstrakcja, którą można zastosować do funkcji, w tym jednym szczególnym przypadku niezależna od F)
    • zF_n+1≡zF'_n(F)
    • zF'_n+1≡zF_n(Ɐ)
    • zF_X+n≡zF_n(zF_X) (jeżeli X jest granicą)
    • Dalsze odwrócone hiperoperacje jak dla indeksów dolnych ze stosowania funkcji do tej funkcji.
  • Hiperzygzakowatość:
    • Z₁(X)≡(Ɐ(zA))(X)≡(zA↓^zA_X(X)(zA_X(X)))(X)
    • Z_α+1(X)≡(Ɐ(z(Z_α)))(X)≡((z(Z_α))↓^{(z(Z_α))_X(X)}((z(Z_α))_X(X)))(X)
    • (czyli Z₀≡A)
    • Z_Ω̃(X)≡(Ɐ(Z))(X)≡(Z↓^Z_X(X)(Z_X(X)))(X)
    • Z_F(Ω̃)(X)≡(Ɐ(Z_F(⋅)))(X)≡(Z_F(⋅)↓^Z_F(X)(X)(Z_F(X)(X)))(X) (tym razem w praktyce F(⋅) może być prostą funkcją, jak Ω̃+⋅ albo Ω̃⋅⋅, ale do bardziej złożonych też już doszliśmy i najwyraźniej działa)
  • Azetowatość (antypiramidozygzakowatość) ......:
    • ∇₁Z(X)≡Z_Ω̃(X)
    • (zwykła azetowatość to ω-azetowatość: ∇_ωZ(X)≡∇Z(X))
    • ∇_X.1+1Z(X_.2)≡Z_{∇X.1Z(Ω̃)+1}(X_.2) (bezpośrednio po granicy)
    • ∇_X.1+1Z(X_.2)≡Z_{∇X.1Z(Ω̃)}(X_.2) (dalej od granicy)
  • i pewnie coś jeszcze...
• Po drodze są konkretne liczby takie jak [(Ω_Ω↑↑ω)⋅[(Ω_Ω↑↑ω)⋅Ω]⋅(ω_{[Ω[ΩΩ]+ω⋅9↑↑ω]+ω}⋅12+107)]+[Ω_ω]⁹⁸⁷⁶+2, gdzie nawias kwadratowy oznacza, że zmieniamy zapis w środku na liczbę porządkową, którą opisuje.
• Można też znaleźć
  • duże przeliczalne porządkowe jak Ω↑↑ω (piramidalnie graniczne) i A(Ω)≡Ω↑^Ω+12≡Ω↑^ΩΩ (akermańsko graniczne)
  • oraz duże porządkowe o mocy i współkońcowości ω₁ jak Ω₁↑↑ω (piramidalnie (1-)stacjonarne) i A(Ω₁)≡Ω₁↑^Ω₁+12≡Ω₁↑^Ω₁Ω₁ (akermańsko (1-)stacjonarne)
  • tudzież bardziej skomplikowane kombinacje w stylu A(Ω₂³⋅Ω) (tutaj pojawiają się uproszczenia wynikające ze zjawisk typu Ω⋅Ω₂=Ω₂ (2-stacjonarna granica granic (albo 1-stacjonarna, czy z jakimkolwiek numerkiem >0) to po prostu 2-stacjonarna granica)).
  • Dodatkowo 5-zygzak-akermańsko (ω₁⋅5+ω⋅8+8)-stacjonarne, ω-zygzak-akermańsko (ε₃+9)-stacjonarne itp.

(Tu była notacja strzałek w górę. A co z notacją łańcucha strzałek: Ω_Ω→Ω_Ω→Ω_Ω→Ω_Ω?)

Z odpowiednią interpretacją i znakiem małpy (oznaczającym, że liczba ma odpowiednią formę stacjonarności nawet z perspektywy podanej za nim większej liczby) tego zapisu można użyć aby opisać konkretne liczby porządkowe, niezależne od modelu, przynajmniej przy założeniu V=L. Najbardziej podstawowe przykłady (widać, że niektóre bardziej znane pojęcia mają bardziej skomplikowany zapis niż mniej znane; można też przyjąć, że bez nawiasów kwadratowych chodzi tylko o formę stacjonarności, nie o konkretną liczbę):

• Ω₁=ω₁ to wysokość (czyli z innego punktu widzenia Ord) pierwszego modelu ZFC⁻.
• Ω₁@Ω_Ω to ω₁ minimalnego modelu ZFC, a Ω_Ω to Ord tego modelu.
• Ω_Ω@Ω_Ω⋅2 to liczba nieosiągalne w minimalnym modelu ZFC z liczbą nieosiągalną (ZFC+V=L+„istnieje liczba nieosiągalna”+„nie istnieje przechodni model ZFC+„istnieje liczba nieosiągalna””; całkiem pierwsza liczba nieosiągalna).

Dla porównania spróbuję wyjaśnić funkcję Veblena φ:

• φ(α)≡ω^α.
• Dla α>0, φ(X, α, 0, β) to liczba γ=φ(X, α', γ, 0) dla każdego α'<α numer β, przy czym:
  • „numer β” liczymy od 0 (czyli chodzi o liczbę taką, że jest β ściśle mniejszych liczb tego rodzaju).
  • X to zero, jeden lub więcej (nawet nieskończenie wiele (?)) argumentów.
  • 0 to zero, jeden lub więcej (znowu nawet skończenie wiele (?)) zer.
  • (Innymi słowy, zmieniamy tylko pierwszy niezerowy argument (przy okazji można zmienić go na zero, co pozwala zacząć od jedynki; β, całkiem pierwszy, traktujemy całkiem inaczej).)
  • Argumenty przed pierwszym podanym to same zera: φ(α)≡φ(0, α)≡φ(0, 0, α)).
• Niezerowych argumentów jest skończona liczba, a notacja (moja, niestandardowa; podobieństwo do notacji łańcucha strzałek jest przypadkowe i może mylić) to np. φ(α)≡φ(0→α), φ(1, 0, 0)≡φ(2→1), φ(2, 0, 1, 0, 0)≡φ(4→2, 2→1) i oczywiste uogólnienie dla nieskończonych pozycji.
• Jeżeli dalej są zera, wartość dla argumentu lub pozycji, który (która) jest liczbą graniczną, to granica wartości dla mniejszych argumentów:
  • φ(ω, 0, 0) to granica φ(n, 0, 0).
  • φ(ω, ω²⋅2, 0, 0) to granica φ(ω, ω² + ω⋅n, 0, 0).
  • φ(ε₀, 0) (≡φ(φ(1, 0), 0)≡φ(ω↑↑ω, 0)) to granica φ(ω↑↑n, 0).
  • φ(ω→1) to granica φ(n→1).
  • φ(ω+1→1, ω→2) to granica φ(ω+1→1, ω→1, n→1).
  • φ(ω³→14, ω²⋅2→1) to granica φ(ω³→14, ω² + ω⋅n→1).
  • φ(ε₀→0) (≡φ(φ(1, 0)→0)≡φ(ω↑↑ω→0)) to granica φ(ω↑↑n→0).

(to wystarczy?) W mojej notacji z kolei:

• ω^Ω to pierwsza liczba α=ω^α, czyli ε₀≡φ(1, 0).
• Ogólnie ω^Ω⋅(1+α)=ε_α≡φ(1, α) (taka kolejność w sumie oznacza, że od ω różnica znika).
• ω^Ω2 to pierwsza liczba α=ε_α, czyli ζ₀≡φ(2, 0).
• Ogólnie ω^Ω2⋅(α+1)=ζ_α≡φ(2, α).
• ω^Ωω to φ(ω, 0), oczywisty cel kontynuacji zaczynającej się od ω^Ω3=η₀≡φ(3, 0), czyli pierwszego α=ζ_α.
• ω^Ωω+1 to φ(ω+1, 0), liczba typu ω^Ωω, której numer wśród liczb tego typu równa się niej samej
• ω^ΩΩ to porządkowa Fefermana-Schüttego, Γ₀≡φ(1, 0, 0)
  • (pierwsza liczba, której nie można zapisać za pomocą oryginalnej rodziny funkcji Veblena φ_α(β)≡φ(α, β)).
• ω^{ΩΩ⋅(α+1)}=Γ_α≡φ(1, 0, α).
• ω^ΩΩ+1=φ(1, 1, 0).
• ω^ΩΩ⋅2=φ(2, 0, 0).
• ω^ΩΩ2 (sugeruje to też analogia z funkcją psi Buchholza (chociaż jej nie rozumiem)) to porządkowa Ackermanna, φ(1, 0, 0, 0).
• ω^ΩΩn to najwyraźniej φ(n+2→1).
• ω^ΩΩω to mała porządkowa Veblena, φ(ω→1)
  • (pierwsza liczba, której nie można zapisać za pomocą funkcji Veblena ze skończonymi argumentami).
• ω^ΩΩα to najwyraźniej φ(α→1) dla α⩾ω.
  • φ(α→1, 0→n) dla α⩾ω to ω^ΩΩα⋅(n+1)=ω^{ΩΩα⋅(n+1)}.
• ω^ΩΩΩ to duża porządkowa Veblena, pierwsza liczba α=φ(α→1)
  • (pierwsza liczba, której nie można zapisać za pomocą funkcji Veblena (przynajmniej nie można zapisać (bezpośrednio, bo pośrednio, jak widać, bez problemu) za pomocą tego standardowego uogólnienia, które przedstawiłem na początku niniejszej sekcji – φ(Ω→1) wydaje się działać)).
• Można uogólniać funkcję Veblena:
  • ω^ΩΩΩ=φ(Ω→1)
  • ...... φ(φ(Ω→1)→1, 0→1)=ω^{ΩΩ[ωΩΩΩ]⋅2}
  • ...... φ(φ(Ω→1)→1, 0→α)=ω^{ΩΩ[ωΩΩΩ]⋅(1+α)}
  • ...... φ(φ(Ω→1)→1, 1→1)=ω^{ΩΩ[ωΩΩΩ]+1}
  • ...... φ(φ(Ω→1)→1, 1+α→1)=ω^{ΩΩ[ωΩΩΩ]+Ωα}
  • ...... φ(φ(Ω→1)→2)=ω^{ΩΩ[ωΩΩΩ]⋅2}
  • ...... φ(φ(Ω→1)→ω)=ω^{ΩΩ[ωΩΩΩ]⋅ω}
  • ...... φ(φ(Ω→1)+1→1)=ω^{ΩΩ[ωΩΩΩ]+1}
  • ...... φ(Ω+1→1)=ω^ΩΩΩ+1
  • ...... φ(Ω⋅2→1)=ω^ΩΩΩ⋅2
  • ...... φ(Ω²→1)=ω^ΩΩΩ2
  • ...... φ(Ω^ω→1)=ω^ΩΩΩω
  • ...... φ(Ω^Ω→1)≡φ(Ω↑↑2→1)=ω^ΩΩΩΩ≡ω^Ω↑↑4
  • ...... φ(Ω↑↑ω→1)=ω^{ΩΩΩ↑↑ω}=ω^Ω↑↑ω – pewnie dalej będzie się jeszcze chwilowo odklejać, ale na tym poziomie funkcja Veblena została dogoniona przez mój zapis i straciła wartość.
• Samo ω^Ω↑↑ω to chyba porządkowa Bachmanna-Howarda (zresztą jak zwykle ......, można też pisać po prostu Ω↑↑ω ......).
• Korzystając ze swojego zapisu, mogę zdefiniować ω^A(Ω)≡ω^Ω↑ΩΩ (=A(Ω)?) i ω^(Ɐ(A))(Ω) (=(Ɐ(A))(Ω)?). ...... ile to dokładniej jest? ......
  • To pierwsze można nazwać pierwszą akermańską granicą, a drugie – pierwszą antyakermańską granicą. Trzeba tylko pamiętać, że standardowa porządkowa Ackermanna jest mniejsza.
• Potem analogicznie aż do ω^Z_Ω̃(Ω) (=Z_Ω̃(Ω)?) i dalej ......

Na Ω_α nie widać tu miejsca, bo już ω^Ω₁=Ω₁ i nie jest rekursywne (chociaż jest o wiele mniejsze niż Ω₁@Ω_Ω). Wygląda (niezbyt dokładnie, zresztą nie rozumiem tych zapisów), że ω^X to z grubsza to samo, co ψ(X) (chociaż symbol Ω oznacza tu podobno coś innego), czyli rośnie trochę wolniej niż θ(X)≈ω^ΩX.

Analogiczne rozumowanie można zastosować do liczb. Otrzymujemy (tylko krótkie przypomnienie i wskazówki na temat interpretacji):

• Zwykłe hiperoperacje prowadzą do naiwnej funkcji Ackermanna A(n)≡n↑ⁿn (zwraca n-tą liczbę Ackermanna).
• Przez A^k(n),
  • (A↑↑2)(n)≡A^A(n)(n)
  • i (A↑^l+1(k+1))(n)≡(A↑^l((A↑^l+1k)(n)))(n)
  • dochodzimy do A₁(n)≡(A(A))(n)≡(A↑^A(n)(A(n)))(n).
• Z pełną analogią A_k(n), (Ɐ(A))(n), kolejne zA_k(n) ...... i dalej